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問題;(Z/5Z)*、(Z/7Z)*、(Z/12Z)*、が巡回群であることを生成元を見つけることにより示せ。

この問題の解答と解説お願いします

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A 回答 (5件)

先の回答者さんが述べている通り、


566nさんがどこまで理解できているのか気になるところですが・・・。



剰余類の代表元を考えると、(Z/5Z)* は {1,2,3,4}と考えることができる。
※整数を5で割った余りは{0,1,2,3,4}ですが、* がついているので、0を除いています。


このとき、{1,2,3,4}のうち、1以外の元を任意に(←数学における任意の意味はわかってるよね?)選びます。

たとえば、ここでは2を選びました。このとき、
2^1=2
2^2=4
2^3=8=3 mod 5
2^4=16=1 mod 5
というように、“1つの元のべき乗”で(Z/5Z)*の元をすべて
構成することができます。


したがって、(Z/5Z)*は巡回群です。
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No.2です~。

すいません。

剰余類 って書いてますね。ごめんなさい。

これどっちなのかな? 7Z を法とする のかな?

一応、 法を Z=1 としてみておいたんだけど。

これもどっちか分からないですね。

(=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)
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記法は、* を別にすれば一般的な記法です。


* はかかないで、Z/5Z とだけ書くことが多いですが、
閉包をとっている、ということを強調して * を書く流儀もあります。
ちなみに、剰余類と商群(剰余群)は違うものです。(商群の元が剰余類)
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悪いけれど、二項代数の書き方が出来てないよ?



群論どころではないと思うけれど・・・。

>(Z/7Z)*

これはね、何が言いたいのかは分かるよ。
こっちも元本職だからね。

だけどちょっとひどいよ><

整数全体の集合に対して、7で割ったあまりについて剰余類をとる。
 この表現だと、分母がおかしいんだけど。
そのときに 掛け算 に対して、集合は群の性質を取る。
ってことだろうけれど。

 専門的に言えば 7を法とする剰余類(整数に対して) 位でいいはず。

これが分からないのなら、ちょっと問題だよ・・・。
お金払って勉強しているんだろうから、もうちょっと分からないところを書いてくれるかな?

元代数学の非常勤講師。

(=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)

本当を言えば、お金取りたいところだね、こういうのは。
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元を1個なんでもいいからもってきて、そのべき乗を考えてみれば終わりです。



正直にいうと、この問題が分からないってことは、そもそも、巡回群の定義、あるいは、商群の定義、などの基本的な話がわかっていない、ということです。
どこまでは分かっていて、何が分かっていないのか、を書いてくれないと説明しようがないです。。
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