![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?e8efa67)
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
素体とは、自分自身以外に部分体を持たない体のことです。
素数の定義に似ている。
Zpの部分体は、Zpの部分加群でもあるので、位数がpの約数でなければ
ならない。(群に関するラグランジュの定理)体は0と1を含むので、
部分体の位数は1ではなくpでなければならない。すなわち、Zpに一致
してしまう。つまり、部分体は自分自身しかない。
Qの方はZの商体であることから分かると思うのですが。
そもそも、素体としては、ZpかQに同型なものしか存在しない。
Fを任意の素体とし、その乗法に関する単位元を1として、ZからFへの写
像fをf(n)=n・1と定義すると、これは環準同型写像になっている。
よって、環の準同型定理により、Z/Kerfとf(Z)は同型である。
f(Z)はFの部分環であるが、Fは環としては整域だから、f(Z)も整域であ
り、KerfはZの素イデアルとなる。
Zは単項イデアル整域なので、Kerf=(0)か、Kerf=(p)(pは素数)とな
る。
Kerf=(0)のときは、Zとf(Z)が同型ということになる。よって、Zの商
体であるQと、f(Z)の商体Kは同型となる。
KはFの部分体であるが、Fは素体なので、結局K=Fとなる。
よって、QとFは同型になる。
Kerf=(p)のときは、Zpとf(Z)が同型となり、Zpは体だからf(Z)も体で、
f(Z)はFに含まれ、Fは素体だから、f(Z)=Fとなる。
よって、ZpとFは同型となる。
いずれにしても、任意の素体はQかZpに同型である。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 数学の複素数の証明問題です。 (1)複素数全体の集合に2要素間の実数と同様な大小を定義できないことを 2 2022/08/28 11:17
- 数学 複素関数にロピタルの定理を使おうとしている回答者は、複素関数論はおろか微積分学もよく分かっていない、 5 2022/12/28 18:02
- 数学 環論の素元について 6 2022/05/09 04:04
- 化学 化学の分圧の問題です。お助けください。 2 2022/11/07 22:48
- 化学 立体化学での質問です。 「メソ体は、不斉炭素が偶数で、分子内に鏡映面がある化合物である。」 といった 2 2022/06/24 02:34
- お酒・アルコール 高学歴の女性は飲酒率が高いという仮説は本当だと思いますか? 5 2022/08/11 11:33
- 化学 分子をつくる物質と分子を作らない物質について。 なんとなく理解出来ているつもりではいるのですが、認識 1 2023/02/15 02:04
- 電車・路線・地下鉄 女性専用車は逆差別につながるのではないでしょうか? 6 2022/07/31 13:25
- その他(教育・科学・学問) 関数、写像について 1 2022/04/10 23:45
- 数学 大学数学の代数の問題です pは素数p>2とする 位数2pの郡は可解郡であることを証明せよ どなたかお 4 2022/12/08 16:53
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
おすすめ情報