循環小数を分数にする方法

循環小数を分数にする場合
たとえば0.4545454545...を分数にする場合
これをxとして100倍をして
100x = 45.4545454545...
x = 0.4545454545...
で引き算をして
99x = 45
x = 5/11

としますが、
途中のxを100倍する時、
掛け算は末尾から計算するというルールですが、
循環小数の場合、末尾が存在しないので、
これはできないと思うのですが、、どうなのでしょうか？

中学2年生でもわかる平易な言葉で回答いただければ幸いです。

No.8 回答者： kmee 回答日時： 2024/05/14 19:51

> 掛け算は末尾から計算するというルール

そんなものはありません。

たとえば
327 × 8
は下からやれば
7x8 = 56 : 1の位は「6」で5繰り上げ
2x8 + 繰り上げの5 = 21: 10の位は「1」で2繰り上げ
3x8 + 繰り上げの2 = 26: 100の位は「6」,1000の位は「2」
答え) 2616
となります。

ですが上からやっても
3x8 = 24: 100の位は「4」,1000の位は「2」
2x8 = 16: 10の位は「6」 100の位は4+1=「5」
7x8 = 56 : 1の位は「6」で5繰り上げ、10の位は6+5=11で「1」で1繰り上げ、 100の位は5+1=「6」
答え) 2616
と同じ答えになります。

違いは、上からやると繰り上げが何度も出て面倒で間違いそう、というとことくらいです。

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2024/05/11 23:07

0.4545454545... = 45×0.01010101...

　　1 = 0.9999999… = 99×0.01010101...
なので、
　　0.4545454545... = (0.4545454545...)/1
　　　= (45×0.01010101... )/(99×0.01010101...) = 45/99
と考えればいいんじゃない？

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2024/05/11 18:57

この方法は中学生のやり方ですが本来はおかしいでね！

例えば
1/3=0.33333...............
3倍して
3/3=0.99999................
となり
1=0.9999999...............

高校では極限として無限等比級数として
0.4545454545...=0.45+0.0045+0.000045+...............
これは初項が０．４５公比1/100の無限等比級数として
0.45/(1-1/100)=45/99=5/11

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/11 16:34

x

=
0.4545454545…
=
0.45
+0.0045
+0.000045
+0.00000045
+0.0000000045
+…
=
45/10^2+45/10^4+45/10^6+45/10^8+45/10^10+…

x=45/10^2+45/10^4+45/10^6+45/10^8+45/10^10+…

↓両辺に100をかけると

100x=45+45/10^2+45/10^4+45/10^6+45/10^8+…

100x=45.45454545…

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/11 14:36

掛け算を末尾から計算するのは、繰り上がりに対応するためです。

10^n を掛けるときには、上の桁の 10^n 倍の右端の位が 0 になって
繰り上がりとの間に足し算が起こりませんから、
右から左へ計算してゆかなくても特に問題は起こりません。
そもそも、無限小数には末尾が無いじゃありませんか。

この回答へのお礼

>掛け算を末尾から計算するのは、繰り上がりに対応するためです。
10^n を掛けるときには、上の桁の 10^n 倍の右端の位が 0 になって

たしかに、10^nを掛ければ繰り上がりが発生しないし、
そもそも右から左へと計算するルールはないので
左から右へと計算しても問題ないんですね！

ご回答ありがとうございました！

お礼日時：2024/05/11 17:16

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/05/11 14:36

百倍する

これは、小数点の位置が右に２つズレるよ
と言う説明で良いと思います

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2024/05/11 14:32

> 掛け算は末尾から計算するというルールですが、

そのようなルールはありません。
先頭から計算しても構いません。
概算を求める場合は、先頭から必要桁数だけを計算すればよいです。

10進法においては、
10倍とは、桁を一つ上げること、
100倍とは、桁を二つ上げること、
1000倍とは、桁を三つ上げること、
これを覚えればよいです。

No.1 回答者： mimon01 回答日時： 2024/05/11 14:26

末尾から計算するのは筆算のルールでして、算盤では先頭から行うように、一般的な決まりではありません。