物理と数学の質問

画像の問題に関して
(1)∇×F=0
(2)それぞれの成分で計算してたしたら０だった。
(3)F=-∇U
(4)F＝GM/|R-r|^2・(R-r)/|R-r|＝-∇Ｕから出すと考えたのですが、
U=-GM/|R-r|にできません。（全然計算の仕方がわからない）
(5)U=-GM/|R-r|と考えて余弦定理でU=-GM・1/(√r^2+R^2-2rRcosθ)
(6)1/Rでくくって(r/R)^2を消してテイラー展開して
-GM/R(1+cosθr/R+3/2cos(r/R)^2)
(7)(8)(9)はなんもわからないという状況です。
どれか一つだけでもいいので考え方を（(4)は計算）教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/06/02 10:24

もんだいの意味がよくわからないのと、出題者の意図とは異なると

思うが、下記のように領域の位相が関係する難しい問題を含むので
述べてみる。

(1)
保存力Fの定義は領域内の任意の閉曲線Cについて
　∲[C]F・ds=0
これから
　rot F=0
が言える。

(2)
よくある勘違いで
　rotF=0 → ∲[C]F・ds=0・・・・・①
とは限らないので、厳密には間違い。

例えば、無限直線電流の作る磁界Hは ∲[C]H・ds=I なので、Iを含
む閉回路では保存力とならない(それでも、領域では rotH=0)。

ちなみに、領域が単連結であれば、①が成り立つという定理がある。

したがって、順序は逆になるが、m₁は
　U=-Gm₁/r・・・・・②
というポテンシャルを持つので　∲[C]F・ds=0　を満たし保存力
となる。

(3)
　F=-m₂gradU
はポテンシャルの定義だから、何を問うているのか不明。

(4)(5)
意味がよくわからないが、②からBHからrの距離にあるポテンシャル
は
　U=-GM/r
だから、(r,Rをベクトル表示とすると)BHから惑星表面までの位置ベ
クトルは　r-R、距離は|r-R| なので
　U=-GM/|r-R|・・・・・③
となる。

(5)
　|r-R|²=(r-R)・(r-R)=|r|²+|R|²-2r・R
　　　　=|r|²+|R|²-2|r||R|cosθ
これを③に入れて
　U=-GM/√(r²+R²-2rRcosθ)・・・ここで、r,Rはスカラー

(6)(7)
　(1+x)^a≒1+ax (x≪1)
から
　U=-(GM/R)/√{1+(r/R)²-2(r/R)cosθ}
　　≒-(GM/R){1+(r/R)cosθ-(1/2)(r/R)²}

(8)(9)よくわからない。

この回答へのお礼

中間試験のはずなんですけどなんか難しいですよね。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2024/06/03 15:09

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/06/02 11:09

訂正

　(1+x)^a≒1+ax+(a(a-1)/2)x² (x≪1)
なので
　U=-(GM/R)/√{1+(r/R)²-2(r/R)cosθ}
　　≒-(GM/R){1+(r/R)cosθ-(1/2)(r/R)²+(3/8)((r/R)²-2(r/R)cosθ)²}
　　≒-(GM/R){1+(r/R)cosθ-(1/2)(r/R)²+(3/8)4(r/R)²cos²θ}
　　=-(GM/R){1+(r/R)cosθ-(1/2)(r/R)²+(3/4)(r/R)²cos²θ}
　　=-(GM/R)[1+(r/R)cosθ-(1/2)(r/R)²{1-(3/2)cos²θ}]