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質問者：ゆゆにゃ。
質問日時：2024/06/14 11:10
回答数：9件

線形性じゃなくて行列の積が可換なことになってませんか？？？

これの証明です

補足日時：2024/06/14 14:01
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回答 (9件)

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No.8ベストアンサー

回答者： syotao
回答日時：2024/06/15 21:32

基底v1v2,･･･の横並びを(v)、基底v1',v2',･･･の横並びを(v’)

ベクトルf(v1),f(v2)･･･の横並びを(f(v))
ベクトルf(v1'),f(v2')･･･の横並びを(f(v'))等
と定義すれば
最初の写真の式は
(f(v'))=(f((v)P))=(f(v))Pはfの線形性から出てくる、ここで
定義より(f(v))=(w)Aだから
(f(v))P＝((w)A)P=(w)APになる･･･行列の積の結合法則、･･･①
また定義から
(w')=(w)Qだけども両辺にQ⁻¹を右からかけて
(w')Q⁻¹=(w)E=(w)だから①は＝((w')Q⁻¹)AP=(w')Q⁻¹AP
になる、これも結合法則、
結局
(f(v'))=(w')Q⁻¹APとなるけど、一方
定義より
(f(v'))=(w’)A’なので基底(w')による表現の一意性より
A'＝Q⁻¹APとなります。
つまり、ｆの線形性と行列積の結合法則のみから
結論が出ます。

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No.9

回答者： mtrajcp
回答日時：2024/06/16 06:46

fの線形性から

f((v1,…,vm)P)=f(v1,…,vm)P
と
Pの操作とfの操作が可換にはなっているけれども
行列の積が可換になっているのではありません

Pの操作後のfに対応する表現行列はA'
Pの操作前のfに対応する表現行列はA
だから

(v1,…,vm)PA'=(v1,…,vm)AP

だから

PとA'が可換になっているのではありません

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この回答へのお礼

ありがとう

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お礼日時：2024/06/17 15:33

No.7

回答者： mtrajcp
回答日時：2024/06/15 20:32

fの線形性から

f((v1,…,vm)P)=f(v1,…,vm)P

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この回答へのお礼

助かりました

めちゃわかりやすかったですありがとうございます～

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お礼日時：2024/06/17 15:33

No.6

回答者： mtrajcp
回答日時：2024/06/15 05:43

v1,v2,...,ｖm というベクトル達は

行(横)ベクトルではありません
列(縦)ベクトルです

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No.5

回答者：ありものがたり
回答日時：2024/06/14 21:59

なんだろ？記法が十分に定義されてない気がする。

著者は文系かな？行列の計算には、ありがちなことだけど。

(v1,v2,...,vm)P という書き方から、
v1,v2,...,ｖm というベクトル達は行ベクトルだと判る。

(v’1,v’2,...,v’m) = (v1,v2,...,vm)P という式は
一枚目の写真の文章により ∀i, v’i = (vi)P ということだから、
式の vi と v’i は行ベクトルであることが判る。
ということは、基底の元は、抽象的なベクトルではなく
何か在る基底の上に成分表示されている。
vi が列ベクトルでなければ、行列積 (Vi)P は定義されないからね。

よって、(v1,v2,...,vm) という表記は、よくある
m 次列ベクトル m 個を横に並べた m 次正方行列ではなく、
m 次行ベクトル m 個を横に並べたものである。
成分が体の元でないから、m 次行ベクトルですらない。
誰だ？こんな式書いた馬鹿は？