n! (n∈ℕ) の末尾に 0 がいくつも並んでいるのは皆さんご存じでしょうけど、全体で見るとどれく

n! (n∈ℕ) の末尾に 0 がいくつも並んでいるのは皆さんご存じでしょうけど、全体で見るとどれくらいの割合で並んでいるのでしょうか？
n! の桁数を f(n)、0 の個数を g(n) とすると、g(n)/f(n) は n→∞ でどのようになるのですか？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/23 14:14

g(n) = ∑{k=1...[ log_2(n) ]} [ n/2^k ] であることは、

ソノスジでは有名ですが...

n が大きければ、これを
g(n) ～ ∑{k=1...[ log_2(n) ]} n/2^k　；等比数列の和
　　　= (n/2){ 1 - (1/2)^([ log_2(n) ] + 1) }/(1 - 1/2)
　　　= n{ 1 - (1/2)(1/2)^[ log_2(n) ] }
　　　～ n{ 1 - (1/2)(1/2)^log_2(n) }
　　　= n{ 1 - (1/2)1/n }
　　　= n - (1/2)
　　　～ n
と見てもよいでしょう。
ここで、a(n) ～ b(n) とは、lim a(n)/b(n) = 1 の意味です。

一方、f(n) のほうは
f(n) = [ log_10(n!) ]
　　～ log_10(n!)
　　= ∑{k=1...n} log_10(k)
と変形できます。

log は上に凸な関数であり、
f(n)/g(n) ～ ∑{k=1...n}log_10(k) / n
　　　　　≧ log_10( ∑{k=1...n}k / n )
　　　　　= log_10( n(n+1)/2 / n )
　　　　　= log_10( (n+1)/2 )
　　　　　→ +∞
です。

よって、lim{n→∞} g(n)/f(n) = 0.