画像のWikipediaのシュワルツ超関数の説明で代数的双対と言ってますよね。これは何の事でしょうか

画像のWikipediaのシュワルツ超関数の説明で代数的双対と言ってますよね。これは何の事でしょうか？双線型形式のことでしょうか？
　あと、「微分に関して閉じている」とはどういう意味なのですか？閉じているって例えば境界を含まないとかでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/09 09:24

ひとつめ：

「代数的双対」というのは、あまり聞き覚えのない用語だが、
同じ Wikipedia の「双対ベクトル空間」のページ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE … に
＞ 一般に双対空間には、代数的双対と連続的双対の二種類が用いられており、
＞ 代数的双対は任意のベクトル空間に対して定義することができるが、
＞ 位相線型空間を扱うときは代数的双対よりもその部分線型空間として
＞ 連続線型汎函数全体の成す連続的双対空間を考えるのが自然である。
と書かれている。このページに「代数的双対」の定義は明記されていないが、
おそらく、「連続的双対」に限らない広義の双対ベクトル空間を指すと思われる。
要するに、線形代数の本に必ず書いてある双対線型空間の普通の定義、
ベクトル空間からそのスカラー体への線型写像がなす線型空間のことだ。

集合 V が体 K 上のベクトル空間であるとき、V から K の線型写像がなす空間 F に
f, g ∈ F, x ∈ V, a ∈ K に対して
(f + g)(x) = f(x) + g(x),
(a f)(x) = a f(x)　　　　で加法とスカラー倍を定義すると、F は線型空間となる。
この F を V の双対線型空間と呼ぶ。

写真の引用の中に、
＞ シュワルツ超函数の厳密な定義は D(U) の（緩増加超函数の場合は S(Rd) の）
＞ 代数的双対と呼ばれる非常に大きなベクトル空間の部分空間
とある。同じページの「基本的な考え方」という節に、シュワルツ超函数の
具体的な定義が書いてある。テスト関数 φ から積分値 <f,φ> への写像
<f, > が、シュワルツ超函数である。 (f がシュワルツ超函数なのではないことに注意)
D(U) から R への全ての線型写像ではなく、その中で特定の形をしたものだけ
を考えていることから「の部分空間」とされている。

ふたつめ：
同じページの同じ節に、
＞ S がシュワルツ超函数のとき、その微分 S’ を <S’,φ> = - <S,φ’>
＞ で定義すべきであることを示唆している。じつはこれは正式な定義である。
と書かれている。そのように定義された「微分」は、
シュワルツ超函数の空間からシュワルツ超函数の空間への写像となる。

「微分に関して閉じている」の「閉じている」とは、計算の結果が
同じ集合の元になるということ。群が演算について閉じているとか、
線型空間は加法とスカラー倍について閉じているとかの「閉じている」だ。

この回答へのお礼

分かりやすい説明助かりました。ありがとうございました。

お礼日時：2024/08/09 13:34