高校数学 複素数平面

0でない複素数α、βは、等式5α^2-4αβ+4β^2=0を満たし、β/αの虚部は正である。またβ/αの偏角をθ(0<θ<π)とする。 (1)|α|=2√5とする。Oを原点とする複素数平面上でαを表す点をA、βを表す点をBとし、虚軸上の点3iを中心として点Aをθだけ回転させた点をCとする。Cが虚軸上にあるとき、α、βをそれぞれ求めよ。ただし、αの実部は正であるとする。
(2)(1)のとき、点Aを端点とする半直線AB上を動く点をP(z)とする。w=8/zで表される点Q(w)が描く図形を求めよ。
解き方が分かりません。よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• β/αは求めれました！
  1/2+i となりました。(問題にβ/αの虚部は正であるとあるのを記述わすれていましたすいません。)
  ここからどうすればいいのでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/08/28 14:59

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2024/08/29 19:08

（2）

P(z)はA(2＋4i)から出発してB(-3＋4i)を経由して実軸の負の向きに
動くからzの虚数部分(1/2i)(z＋z*)＝4が成立つ。*は共役の意味。
ｗ＝1/zだから上の式は(1/2i)(1/ｗ＋1/ｗ*)＝4
両辺にｗｗ*をかけて整理するとｗｗ*－(i/8)ｗ＋(i/8)ｗ*＝0
これから|ｗ＋i/8|＝1/8が出るからｗは中心-i/8、半径1/8の
円周上を動く。
ｚがAから半直線上を動くにつれてｚの偏角はθからπにかぎりなく
近づくからｗ＝1/ｚの偏角は-θから-πまで負の向きに増えていく
したがってｗは上の円周上の点1/(2＋4i)から時計回りに
この円周上に沿って原点Oまで移動します。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/28 16:05

(2)

半直線AB は、z = α + (β - α)t, { t ≧ 0 } で表される。
w = 8/z = 8/( α + (β - α)t ) = 8/(2 + 4i - 5t).
α, β は (1) の値を使った。

この w から t を消去するにはどうしようか？
w = x + yi を上式へ代入して
8 = (x + yi)(2 + 4i - 5t)
　= { (2-5t)x - 4y } + i { 4x + (2-5t)y }.
実部,虚部を分離して
(2-5t)x - 4y = 8,　←[1]
4x + (2-5t)y = 0.　←[2]
式から t を消去するには、
[2]・x - [1]・y を辺々計算して
4x^2 + 4y^2 = 0x - 8y
すなわち、x^2 + (y + 1)^2 = 1.　←[3]

[3]は円の式だが、この曲線の全域が解だとは決まってないな...
[1][2] を x, y の連立方程式として解くと、
x = (-8/5)(5t - 2)/(5t^2 - 4t + 4),
y = (-32/5)/(5t^2 - 4t + 4).

t ≧ 0 での q = 5t^2 - 4t + 4 の変域が
q = 5(t - 2/5)^2 + 16/5 より q ≧ 16/5.
よって、-2 ≦ y < 0.
解は、[3] ただし (0,0) を除く... となる。

この回答へのお礼

やっと解決できました。
丁寧にありがとうございましたたすかりました。

お礼日時：2024/08/28 16:19

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/28 15:24

あ、なんだか私の人柄のほうが知れてしまった。

訂正：

(1)
5 - 4(β/α) + 4(β/α)^2 = 0 を解いて、β/α = (1/2) ± i.
β/αの虚部は正とのことなので、β/α = (1/2) + 1 i.

tanθ = (1) / (1/2) = 2 と 0 < θ < π より、
cosθ = 1/√5, sinθ = 2/√5.

α を 3i 中心に θ だけ回転した先の点は、
(α - 3i) e^(iθ) + 3i = (Reα + i Imα - 3i)(cosθ + i sinθ) + 3i
　　　　　　　　　= { (Reα)cosθ - (Imα)sinθ + 3sinθ }
　　　　　　　　　　+ i { (Reα)sinθ + (Imα)cosθ - 3cosθ + 3 }.
これが虚軸上にあるということは、
0 = (Reα)cosθ - (Imα)sinθ + 3sinθ
　= (Reα)(1/√5) - (Imα)(2/√5) + 3(2/√5)
　= { (Reα) - 2(Imα) + 6 }/√5.

この式と (Reα)^2 + (Imα)^2 = |α|^2 = (2√5)^2 を連立して、
(Reα,Imα) = (2,4), (-22/5,4/5).
αの実部は正とのことなので、α = Reα + i Imα = 2 + 4i.

β = (β/α)α = { (1/2) + i }(2 + 4i) = -3 + 4i.

この回答へのお礼

全然気にしないでください！何度も確かめていただきありがとうございます！
自分も自分のミスを探しているところでした笑
これでやれそうです！

お礼日時：2024/08/28 15:32

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/28 15:19

簡単なのに煩瑣な、嫌な問題だねえ。

出題者の人柄が知れる。

(1)
5(α/β)^2 - 4(α/β) + 4 = 0 を解いて、α/β = (2/5) ± (4/5)i.
β/αの虚部は正とのことなので、α/β = (2/5) + (4/5)i.

tanθ = (4/5)/(2/5) = 2 と 0 < θ < π より、
cosθ = 1/√5, sinθ = 2/√5.

α を 3i 中心に θ だけ回転した先の点は、
(α - 3i) e^(iθ) + 3i = (Reα + i Imα - 3i)(cosθ + i sinθ) + 3i
　　　　　　　　　= { (Reα)cosθ - (Imα)sinθ + 3sinθ }
　　　　　　　　　　+ i { (Reα)sinθ + (Imα)cosθ - 3cosθ + 3 }.
これが虚軸上にあるということは、
0 = (Reα)cosθ - (Imα)sinθ + 3sinθ
　= (Reα)(1/√5) - (Imα)(2/√5) + 3(2/√5)
　= { (Reα) - 2(Imα) + 6 }/√5.

この式と (Reα)^2 + (Imα)^2 = |α|^2 = (2√5)^2 を連立して、
(Reα,Imα) = (2,4), (-22/5,4/5).
αの実部は正とのことなので、α = Reα + i Imα = 2 + 4i.

β = α/(α/β) = (2 + 4i)/{ (2/5) + (4/5)i } = 5.

この回答へのお礼

見たことあんまないタイプの問題だったので全然手がつけれませんでした。細かく解説ありがとうございます！助かりました。

お礼日時：2024/08/28 15:24

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2024/08/28 14:51

まずは、α≠0より

　　γ=β/α
として等式からβを消去するところまでをやってみる。