０≦θ＜２パイのとき不等式cos２θ＋3sinθ＋1≦０を満たすθの値の範囲を求めよ。 という問題の

０≦θ＜２パイのとき不等式cos２θ＋3sinθ＋1≦０を満たすθの値の範囲を求めよ。
という問題の解説をお願いします！

No.1 ベストアンサー 回答者： OTZ-STO 回答日時： 2018/07/12 03:40

まず、この問題は不等式を解く問題です。

例えば、
x^2-2x-3>0という不等式を解くと、
x^2-2x-3>0
(x+1)(x-3)>0
x<-1,3<xとなるのはいいですか？この不等式は(xの二次式)>0という形になっており、x以外の変数はありません。
そして、今回の問題を見てみると、
cos2θ+3sinθ+1≦0
変数がcos2θとsinθという二つなっています。これでは上の例のような既習の形ではないので解くことはできません。では、既習の形にすればよいのです。
この場合、変数がcos2θかsinθのどちらか一つになって欲しいわけですが、cos2θ=1-2(sinθ)^2と変形できるので、変数をsinθだけにすることができます。
cos2θ+3sinθ+1≦0
1-2(sinθ)^2+3sinθ+1≦0
-2(sinθ)^2+3sinθ+2≦0
2(sinθ)^2-3sinθ-2≧0
(sinθ-2)(2sinθ+1)≧0
sinθ≦-1/2,2≦sinθ
となります。ここで、0≦θ≦2πより-1≦sinθ≦1となります。(半径1の円をかいて、その一番下の部分が-1で一番上の部分が1だからです。)
さっき求めたsinθ≦-1/2,2≦sinθと、-1≦sinθ≦1の共通範囲を考えて、-1≦sinθ≦-1/2となります。これを満たすθは、円の図を見ながら考えます。sinθ(円のy座標だと思えばよいです)が-1となるのは円の一番下の部分、-1/2になるのは少し左右に上がった部分です。つまり、一つ目の-1/2のところから二つ目の-1/2のところまでのθを答えればよいです。
一つ目のsinθ=-1/2となるθは7π/6、二つ目のsinθ=-1/2となるθは11π/6なので、答えは
7π/6≦θ≦11π/6となります。

この回答へのお礼

ありがとうございます!!

お礼日時：2018/07/12 23:02

No.2 回答者： tmiyoshi 回答日時： 2018/07/12 10:11

補足