常用対数について

Question

log10の2=0.3010と与えられていて
2^50の桁数を求めなさいという問題で解答はあるのですが何故そうなるのかが解りません
解説をよろしくお願いします

解答
log10の2^50=50*0.3010=15.05←1)
log10の10^15≦log10の2^50<log10の10^16←2)
途中式以下略

1),なぜここでlog10が出てくるのですか？

2),log10の10^15≦log10の2^50となってますがlog10の10^15は元々log10の2^50ではなかったですか？
つまり=ではないのですか？

全く意味が解りません（汗

解説をお願いします

masterkoto · Accepted Answer

（１）＞＞＞
log₁₀N　など１０を底とする対数を常用対数と言います。（ただしN>0)
で、底が１０である常用対数を使うと、正の数Nの整数部分の桁数や、小数首位（小数点から右に視線を移していく時、初めて０でない数字が現れたら、それが小数首位）が分かるのです。
例
N=１０²なら,log₁₀N＝log₁₀10²=2
N=10³なら,log₁₀N＝log₁₀10³=3　
と言うように10の何乗と言う形に対して、常用対数は整数値になるので
Nが仮に3桁の整数なら
100≦N<1000⇔10²≦N<10³　…①
Nが大きくなるとlog₁₀Nも大きくなるという関係にあるので
この不等式を常用対数にしても大小関係は変らないことを利用して①を書きかえると
log₁₀10²≦log₁₀N<log₁₀10³
⇔2≦log₁₀N<3…②

もし、②と言う条件が分かっているなら上の記述を逆順にたどってNが３桁であることが分かると言った具合です
このように、常用対数を用いると桁数が分かりやすくなるという利点があります

（２）＞＞＞
（１）で登場したNがこの問題では2⁵⁰です（N=2⁵⁰)
だからNの桁数を求めるためには、②の形式の条件を得たいので
N=2⁵⁰の常用対数を考えます
（ここからは、底１０を省略します）
log2=0.3010が与えられているので、これを用いて
logN=log2⁵⁰=50log2=50x0.3010=15.05
これで②型不等式の真ん中の数値が分かりました（●≦15.05<●+1 と言うところまで分かりました）
後は●を決めれば良いわけですが、●は常用対数に結びつくので（結びつけるので）整数でないといけません
従って、●=15以外にないので
15≦15.05<16とできます
→Nで表わせば、15≦logN<16と言う状態
→Nを2⁵⁰にすれば　15≦log２⁵⁰<16と言う状態…③
ここから（１）の説明を逆順にたどる要領で変形していけばよいので、③の左辺と右辺を常用対数に直します
すると15=log10¹⁵　16=log10¹⁶だから③は
log10¹⁵≦log２⁵⁰<log10¹⁶
となるのです（log10¹⁵は③の左辺15とイコールだったというわけです！！）
このことから画像のように16ケタが求められます

cruelman · Answer

最初に問題とは直接的に関係無い話を一つします。

100,300,700,1000という数字について考えてみます。
それぞれ桁数は3,3,3,4です。
次にこの4つの数字の常用対数について考えてみます。常用対数というのは10を底数とする対数です。
100は10の２乗なので対数を勉強した時に最初に習う公式を利用すれば対数は2になります。
1000は10の３乗なのでさっきと同じように考えて対数は3になります。
300と700は計算に困りますが、100＜300＜700＜1000であることから300の常用対数と700の常用対数は2と3の間にあると言えます。
これらより、3桁の数字というのは常用対数を取った時に2と3の間にあるということが言えそうだという推測が成り立ちます。300や700の代わりに101や999で考えても成り立つ話なのでこの推測は正しそうです。

k桁の数字mがあるとします。
3桁の数字の常用対数は2と3の間である、という先程の話を踏まえると次の不等式が書けます。
10^(k-1) ≦ m ＜ 10^k
この式の常用対数を取ります。底は省略して書きます。
log10^(k-1) ≦ log m ＜log10^k
公式を使うとこの式は次のように書き直せます。
k-1 ≦ log m ＜ k

以上で説明したことを踏まえれば、ある数の桁数を調べたい時はその数の常用対数を取れば調べることが出来ます。
これがあなたの疑問1への答えです。

疑問2への答えとしては15.05は15と16の間の数です。15.05と15はイコールで結ぶことが出来ません。ということになります。

常用対数について

（１）＞＞＞

最初に問題とは直接的に関係無い話を一つします。

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