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今日学校の授業で素因数分解をやったのですが、「10001を素因数分解しなさい」という問題が出て、私も含めクラス全員大苦戦しました。
先生によると「工夫すれば簡単にできる」らしいのですが、どのように工夫すればいいのでしょうか。分かる方がいたら教え下さい。

A 回答 (5件)

補足。


+1.後付けで

a²が110²,120²・・・のケースは個別に計算したらいい。
としときます。

すいません。
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補足。


訂正。
素数2,3,5,7,11,13ほどまでで「割り切れず」の間違いです。
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0.


なんとか
a²-b²=(a+b)(a-b)の形にもっていきたい

1.
a²-b²=10001 にしたいので
① aを二乗した数は
10001より大きい
なので
a=100 a²=100²=10000ではだめ

② bを二乗した数は
aを二乗した数から引いて10001にしたいので
aを二乗した数の
一の位より 1少ない数でさがす

2.
・ 2乗した数の「一の位」を考えるにあたり
絞りこみたい
1²=1
2²=4
3²=9
4²=16 →一の位は 6
5²=25 →5
6²=36 →6
7²=49 →9
8²=64 →4
9²=81 →1
なので
・ a²の一の位は
「1, 4, 5, 6, 9」のはずだが、
さらに
・ b²の一の位は
a²の一の位より 1少ない数
なので
1²→1-1= 0
2²→4-1= 3
3²→9-1= 8
4²→6-1= 5
5²→5-1= 4
6²→6-1= 5
7²→9-1= 8
8²→4-1= 3
9²→1-1= 0

「0, 3, 4, 5, 8」のうち
二乗した数で「一の位」になる
「1, 4, 5, 6, 9」と照らし
b²の一の位は「4か5」

・ b²の一の位「4か5」は a² の 一の位より 1 少なゆえに
→ a²の一の位は「4か5」に1足した「5か6」になる
したがって
■ aの一の位は
4²=16
5²=25
6²=36
「4か5か6」になる

3.
1.と2.をふまえて探す

a=104 a²=10816
10816-b²=10001
b²=815
815が何かの2乗になるか探る
815=5×163になり不可

a=105 a²=11025
11025-b²=10001
b²=1024
1024=32×32
b=32
■ 105²-32²=10001
(105 + 32)(105 - 32)=10001
137×73=10001
137と73は
素数2, 3, 5, 7,11,13ほどまでで割れず、11×13=143になり137より大きくなるので、
素数。

10001=137×73

補足。
他の方の回答にはいつもお世話になってます。
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小さい素数から割っていって、23か29くらいまでで割り切れなかったら、


エラトステネスの篩でやってしまうかなあ。
10001なら、ぎりぎり篩法でこなせる大きさだし、
考えている間に作業してしまったほうが早いかもしれない。

10001が素数でないとすると、最小の素因数は100以下なので、
候補となる素数は25個しかない。100までの素数表を篩法で作って、
それぞれ割り算してみるだけでもいいかも。

割り算するときに、10001 を p で割った余り = (100^2 + 1) を p で割った余り
= ( 100 を p で割った余り )^2 + 1 を p で割った余り.
とかで多少省力化できるかも。
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私にはよく分かりませんが、下記の方法が有るみたいです。


https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …
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