対数方程式、不等式の同値変形につきまして

すみません。数学音痴を直したくて、興味のあるところから勉強やり直してます。

基本かもしれないのですが、対数方程式、不等式を解く上で、バックグラウンドになっているものが、対数の性質（logaMN=logaM+logaNなど）かと思われます。

この対数の性質は、前提条件があり、すなわち、a>0,a!=1 M,N>0のもとで左辺から右辺、右辺から左辺に変形ができるかと思われます。

対数方程式、不等式を解く上で、与えられた初めの方程式、不等式の底の条件と真数条件を初めに全て押さえることは、この方程式、不等式が意味を持つ範囲を明示することであり、かつ、対数の性質が使える前提条件を与えるものかと思われます。

この大元の与えられた方程式、不等式の前提条件（底と真数の条件）のもとで、対数の性質を使って式変形を繰り返し行うことで、最初から最後まで方程式、不等式を同値変形していることが担保されるように理解してるのですが、そのような理解で良いのでしょうか？（一回一回の式変形の後で、真数条件や底の条件を取り直さない。）

一部、真数の２乗を外すときは、絶対値を真数に付けて外すことが要求されるものもありますが、
方程式、不等式の同値変形が担保されてる理由を考察するとこのようになりました。

ご意見願えないでしょうか？

数学音痴なとこがあるので、おかしなこといってたらすみません。

質問者からの補足コメント

• 最初の条件を維持し続ける限り、それは対数の性質の前提条件を満たすものであるので、対数の性質を使えるし、それを使って複数回変形を繰り返して問題の答えを出したとしても、その答えから元の問題文に戻ることも出来るということですね？（つまり、最初の条件の下で、与えられた問題文と、答として出したものが同値になる。）

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/11/11 16:38

• 特に数学が苦手なんですよ。申し訳ありません。
  ちょっと私自信の読解力や、理解力に自信ないとこがあります。
  
  私の書き方が回りくどいのかもしれません。
  
  対数方程式、不等式を同値変形で解くときに、底の条件と真数の条件をはじめに押さえておくことで、対数の性質の前提条件が満たされることになり、解く上での変形が同値変形になってるのかな？
  
  という確認をしたかったのです。数学の出来る人には当たり前のことかもしれません。
  
  問題ありますでしょうか？
  申し訳ないです。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/11/11 20:25

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2021/11/11 20:44

No.4 です。

「補足」に書かれたことの意味がよく分かりません。

前提条件が満たされているからといって、「変形が同値変換になる」とは限りません。
「同値変換」であるためには、あくまで「変形が同値になるように行われる」ということが必要であり、それは「前提条件」とは無関係です。

逆に、「変形が同値変換」であれば、最初の「前提条件」は維持されるとしてよいことになります。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2021/11/11 18:24

No.3 です。

＞最初の条件を維持し続ける限り、それは対数の性質の前提条件を満たすものであるので、対数の性質を使えるし、それを使って複数回変形を繰り返して問題の答えを出したとしても、その答えから元の問題文に戻ることも出来るということですね？（つまり、最初の条件の下で、与えられた問題文と、答として出したものが同値になる。）

あくまで「同値変形するならば」ということです。
「同値変形の条件」を満たせば「同値であること」が保証されます。
なんか、当たり前のことをいっているだけのような気がしますが。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2021/11/11 12:44

最初の条件が、その後もずっと維持されるということです。

その条件に従って変形していくだけです。
それが「同値変形」ということですから。

A>0 なら √(A^2) = A (>0) だし |A| = A (>0) です。
A<0 なら √(A^2) = -A (>0) だし |A| = -A (>0) です。
A=0 なら √(A^2) = A = -A (=0) だし |A| = A = -A (=0) です。

A が任意の実数であるなら
　√(A^2) = |A| (>0)
と書かなければ「同値」にはなりません。

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2021/11/11 10:33

そもそも「式の変形」と言うのは式の見た目が変わるだけで元の式と全く同じ式です。

同じ式だから式が満たすべき条件が変わるわけありません。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/11/11 08:53

理屈っぽいねえ。

ただ正しく計算すれば、それでいいんじゃないの？