ａ,bを実数とする二次方程式Ｘ²－ａＸ＋b＝０は二つの虚数解を持ちＸ²＋3ａＸ＋2b＝０の解はα²,

ａ,bを実数とする二次方程式Ｘ²－ａＸ＋b＝０は二つの虚数解を持ちＸ²＋3ａＸ＋2b＝０の解はα²,β²であるとするこの時のａ及びbを求めよという問題が分からないので教えて下さい

No.2 回答者： metabolian 回答日時： 2018/05/16 21:32

★「x²－ａx＋b＝０が二つの虚数解α,βを持つ」ということで話を進めると…

x²－ａx＋b＝０ …① の解が虚数解α、β
x²+3ａx＋2b＝０…② の解がα^2、β^2

①で「解と係数の関係」より
α + β = a … ③
αβ = b … ④

また、②でも同様に
α^2 + β^2 = -3a … ⑤
α^2・β^2 = 2b … ⑥

ここで、⑤の左辺 = (α+β)^2-2αβ と変形でき、
ここに③と④を代入すると a^2-2bになります。

a^2-2b = -3a … ⑤’

また、⑥の左辺 =（αβ）^2 =b^2
b^2 = 2b
b(b-2)=0… ⑥’


ここで、①は虚数解をもつので
判別式D=a^2-4b <0 … ⑦

b=0と仮定すると、a^2 <0
ところがaは実数なのでこの不等式は成り立たず不適。
よって、b≠0であり、したがって⑥’より b=２．

それを⑤’に代入すると、a^2-4 = -3a
a^2+3a-4 = 0
(a+4)(a-1)=0
a=-4, 1

ここでまた、判別式⑦より
a=-4のとき (-4)^2-4・2=8 >0となり不適。
a=1のとき 1^2-4・2=-7 <0となり問題に適する。

したがって、(a,b)=(1,2) 。

No.1 回答者： jtpgmwta 回答日時： 2018/05/15 08:01

x^2-ax+b=0の二つの解はα,βですか？