質問1, a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-

質問1,

a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)] に含まれるg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、
g(z)をテイラー展開します。
展開した式から(z-π/2)の係数を取り出します。
取り出した係数を(n-1)!で割ります。
この方法によって、留数を求めることができます。

と言われたのですが、どうか指示に従いg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるまでを教えて頂けないでしょうか？




質問2,

(d/dz)((z - π/2)tan(z)) = (d/dz)((z - π/2))(z^n) - (d/dz)((z - π/2))(nπ/2(z^(n-1))) + (d/dz)((z - π/
2))((n(n-1)π^2/4)(z^(n-2))) - ...

について、(d/dz)((z - π/2)tan(z))が

(d/dz)((z - π/2))(z^n) - (d/dz)((z - π/2))(nπ/2(z^(n-1))) + (d/dz)((z - π/2))((n(n-1)π^2/4)(z^(n-2))) - ...
と導くまでの過程の計算を教えて下さい。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/27 19:37

Res(f,a)={1/(2πi)}∫[|z-a|=r]f(z)dz

を
f(z)のz=aにおける留数
というのだから

g(z)=(z-π/2)tan(z)
のz=π/2における留数は

g(z)=(z-π/2)tan(z)
はz=π/2で正則だから

Res(g,π/2)
={1/(2πi)}∫[|z-π/2|=r]g(z)dz
={1/(2πi)}∫[|z-π/2|=r](z-π/2)tan(z)dz
=0

となる

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/27 18:25

コレ、まだやってんの？

質問1
支離滅裂。
＞ a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)] に含まれる
＞ g(z) = (z-π/2)tan(z) の留数
って何者やねん。

tan(z) の z = π/2 における留数 Res[tan(z), π/2] を求めたいのであれば、
z = π/2 が tan(z) の一意の極であることから g(z) = (z-π/2)tan(z) を考え、
g(z) を z = π/2 中心にテイラー展開する。
展開した式の両辺を z-π/2 で割ると、tan(z) のローラン展開が得られる。
その (z-π/2)^-1 項の係数が「留数」である。

留数だけが欲しいのであれば、g(z) はテイラー展開しなくても
lim[z→π/2] g(z) だけ求めれば十分。
tan(z) のローラン展開を求めようというなら、求めたい項数と同じだけ
g(z) のテイラー展開も各項を求めとく必要がある。

g(z) のテイラー展開が
g(z) = -1 + (1/3)(z-π/2)^2 + (1/45)(z-π/2)^4 + ... なので、
tan(z) のローラン展開は
tan(z) = -1/(z-π/2) + (1/3)(z-π/2) + (1/45)(z-π/2)^3 + ...
この式から 1/(z-π/2) の係数を拾って、
Res[tan(z), π/2] = -1.

質問2
支離滅裂で、もはや何を質問してるのか
忖度する余地すらない。
伝わる日本語で書こうよ。