方程式 九州大学過去問

以下、途中までの答案

xの二次方程式
x^2-x√2+1=0
を解くと
x=cos(π/4)±isin(π/4)
∴条件から、因数定理とドモアブルの定理により
cos(nπ/2)+isin(nπ/2)-(√2){cos(nπ/4)+isin(nπ/4)}+1=0 (A)
cos(nπ/2)-isin(nπ/2)-(√2){cos(nπ/4)-isin(nπ/4)}+1=0 (B)
(A)(B)において、複素数の相等の定義により
cos(nπ/2)-(√2)cos(nπ/4)+1=0 (C)
sin(nπ/2)-(√2)sin(nπ/4)=0 (D)

(C)より
2{cos(nπ/4)}^2-(√2)cos(nπ/4)=0
∴cos(nπ/4)=1/√2,0 (C)'
(D)より
2sin(nπ/4)cos(nπ/4)-(√2)sin(nπ/4)=0
{2cos(nπ/4)-√2}sin(nπ/4)=0
∴
sin(nπ/4)=0又はcos(nπ/4)=1/√2 (D)'
(C)'(D)'より
cos(nπ/4)=1/√2
∴nπ/4=π/4+2mπ,-π/4+2mπ
(mは任意の整数)
となるので
n=1+8m,-1+8m
nはn＞1なる自然数ゆえ、求める最小となるnの値は
n=7

問題

https://imgur.com/a/7imxIc3

質問者からの補足コメント

• 

  先生、こんにちは
  
  ご回答いただきありがとうございます
  
  なるほどです
  
  以下のようにも考えてみました
  
  画像拡大リンク先
  
  https://imgur.com/a/aKETE8n
  
  
  なにとぞよろしくお願いします

    補足日時：2024/10/05 17:12

• 

  先生、こんにちは
  
  ご回答いただきありがとうございます
  
  なるほどです
  
  以下のようにも考えてみました
  
  画像拡大リンク先
  
  https://imgur.com/a/aKETE8n
  
  
  なにとぞよろしくお願いします

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/10/06 05:05

• 

  先生、こんにちは
  早速ですがｎ＝8、4の時は
  共役な複素数解を持たないという意味です

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/10/06 11:57

• 

  ＞ｎ＝8、4はarg(±π/4)に反するとあるが、
  ｎ＝8、4は共役な複素数解はもつということに反するんです

    補足日時：2024/10/06 12:08

• 

  ｎ＝8、4の時は図から明らかに実数解を持ちます

    補足日時：2024/10/06 12:09

• 

  n=1,2,3の時は共役な複素数解はもつので吟味する必要があります

    補足日時：2024/10/06 12:19

• 

  先生今日は
  先生のおっしゃる
  arg(±π/4)に反する
  は考え方が難しすぎて私には理解ができないのです
  私は単純ですので

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/10/06 13:48

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2024/10/06 14:51

いやいや、図を見てください。

ｎが1ふえるたびに偏角はπ/4ずつ進むので
図のとなりの番号同士の間の角はπ/4
よって
ｎ＝1のときarg＝π/4
　＝2のときarg＝π/2
　＝3のときarg＝3π/4
　＝4のときarg＝π
　＝5のときarg＝-3π/4
　＝6のときarg＝-π/2
　＝7のときarg＝-π/4
　＝8のときarg＝0
と読めるんですけどね？
だからｎ＝1、8以外はarg＝±π/4　を満たさないのです。

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2024/10/06 13:36

うん

ｎ＝8、4のときもarg(±π/4)に反するわけだから
あえてこの２つの場合を特別に分ける必要はない
といいたいわけです。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2024/10/06 11:50

そうですね、問題を図式化すると答は一目瞭然です。

しかしあなたの解答で疑問があります：
ｎ＝8、4はarg(±π/4)に反するとあるが、
ｎ＝1から8までのうち1、7以外はすべてarg(±π/4)に反して
いることが図から読み取れますよね？
だからその図から答はｎ＝1かｎ＝7と判断できます。
それに
ｎ＝8のとき、
(cosｎπ/2＋ｉsinｎπ/2)－√2(cosｎπ/4＋ｉsinｎπ/4)＋1は
2－√2になって0にはなりません。

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2024/10/05 17:05

う～ん、これもすごいねぇ！

もちろんこれでいいです。
以下はぼくのやり方：

問題の2ｎ次式を①、２次式を②とすれば
①が②で割れるということは②の因数ｘ-(cosπ/4＋ｉsinπ/4)で割れる
ということ、つまりｘ＝cosπ/4＋ｉsinπ/4が①＝0の解になる、
また①＝0の解はその形からx^n＝cosπ/4＋ｉsinπ/4　かまたは　
x^n＝cos(－π/4)＋ｉsin(－π/４)　だからドモアブル定理より
cos(ｎπ/4)＋ｉsin(ｎπ/4)＝cosπ/4＋ｉsinπ/4あるいは
cos(ｎπ/4)＋ｉsin(ｎπ/4)＝cos(－π/4)＋ｉsin(－π/４)
この２式から
ｎ＝8ｋ＋1　かｎ=８ℓ－1　・・・③になる。
③は①＝0がｘ＝cosπ/4＋ｉsinπ/4を解に持つ条件だけど
①＝0　は実数係数の2ｎ次方程式だから、③が、①＝0が
ｘ＝cosπ/4＋ｉsinπ/4の共役＝cosπ/4－ｉsinπ/4　を解に持つ
条件でもある。
ゆえに、③が、①が因数ｘ-(cosπ/4＋ｉsinπ/4)と
因数ｘ-(cosπ/4－ｉsinπ/4)を持つ条件つまり
①が②で割れる条件です。
求めるｎは7。