Σ（k＝０→n-1）coskθ={sin(nθ/2)}cos((n-1)θ/2)/sin(θ/2)

Σ（k＝０→n-1）coskθ={sin(nθ/2)}cos((n-1)θ/2)/sin(θ/2)の証明がわかりません。

検索して↓のように解答している人がいたのですが、

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Σｃｏｓｋθ＋ｉΣｓｉｎｋθ＝Σｅ＾（ｉｋθ）
＝（１－ｅ＾（ｉｎθ））/(1-ｅ＾（ｉθ）)
＝｛（１－ｅ＾（ｉｎθ））（１－ｅ＾（－ｉθ）)｝/｛(1-ｅ＾（ｉθ）)（１－ｅ＾（－ｉθ）)｝

分母＝２－（ｅ＾（ｉθ）＋ｅ＾（－ｉθ）)＝２－２ｃｏｓθ＝（ｓｉｎ（θ/２））＾２

分子も展開し、半角の公式、和から積の公式を使います。
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↑のようにやってみて分母はわかったのですが分子の展開がわかりません。
分子の展開について細かく解説できる方お教え願います。<(_ _)>

質問者からの補足コメント

• すみません数式少し間違えてました。↓が正しいです。
  Σ(k＝０→n-1)coskθ={sin(nθ/2)cos((n-1)θ/2)}/sin(θ/2)

    補足日時：2024/10/23 17:18

• ご回答ありがとうございます！
  苦戦しましたが教えていただいたとおり解くことができました！
  ありがとうございました！！！
  
  ちなみに虚部のほう
  Σ(k＝０→n-1)sinkθ={sin(nθ/2)sin((n-1)θ/2)}/sin(θ/2)
  も実部と同じように解けば導けるかと計算してみたのですが、
  最後になぜか
  -cos(θ/2)/sin(θ/2)だけ無駄についてしまいます。
  虚部のほうの証明も教えていただけると助かります！

    補足日時：2024/10/26 02:00

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/10/26 06:02

求める虚数部=sin²(nθ/2)cos(θ/2)/sin(θ/2)-sin(nθ/2)cos(nθ/2)

={sin(nθ/2)/sin(θ/2)}{sin(nθ/2)cos(θ/2)-cos(nθ/2)sin(θ/2)}
={sin(nθ/2)/sin(θ/2)}{sin((nθ/2)-θ/2)}
={sin(nθ/2)/sin(θ/2)}sin((n-1)θ/2)

この回答へのお礼

お礼日時：2025/02/03 05:02

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/10/23 19:40

分母=4sin²(θ/2)

分子(の実部)=(1-cos(nθ))(1-cosθ)+sin(nθ)sinθ
=4sin(nθ/2)cos(nθ/2)sin(θ/2)cos(θ/2)+4sin²(nθ/2)sin²(θ/2)

したがって
求める実数部=sin(nθ/2)cos(nθ/2)cos(θ/2)/sin(θ/2)+sin²(nθ/2)
={sin(nθ/2)/sin(θ/2)}{cos(nθ/2)cos(θ/2)+sin(nθ/2)sin(θ/2)}
={sin(nθ/2)/sin(θ/2)}{cos((nθ/2)-θ/2)}
={sin(nθ/2)/sin(θ/2)}cos((n-1)θ/2)