ランダウの記号のとある演算

ランダウのo(スモールオー)記号について
　o(o(g(x)))=o(g(x)) (x → a, x≠a)
を示して下さい。

ただし、x=aの近傍で、x=aを含まない領域で g(x)≠0。

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/05/05 17:08

lim[x→a] o(o(g(x)))/g(x)

=lim[x→a] {o(o(g(x)))/o(g(x))}{o(g(x))/g(x)}
=lim[x→a] {o(o(g(x)))/o(g(x))}lim[x→a]{o(g(x))/g(x)}

↓lim[x→a] {o(o(g(x)))/o(g(x))}=0,lim[x→a]{o(g(x))/g(x)}=0　だから

=0

だから

o(o(g(x)))=o(g(x))

この回答へのお礼

なるほど。思っていたのとは違いますが、とても簡単でしたね。

お礼日時：2025/05/05 18:53

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/05/05 18:37

まだやってる...と思ったら、別の人か。

この場合、 o(g(x)) は、lim[x→a,x≠a] f(x)/g(x) = 0 となるような f(x) の総称でしょう。
質問の式 o(o(g(x))) = o(g(x))　(x → a, x≠a) は、
{ F(x) = o(f(x)) かつ f(x) = o(g(x)) } ならば F(x) = o(g(x)) を意味していますが、
これは lim で書けば
{ lim F(x)/f(x) = 0 かつ lim f(x)/g(x) = 0 } ならば lim F(x)/g(x) = 0 ということです。

lim F(x)/f(x) と lim f(x)/g(x) が収束するならば、
lim F(x)/g(x) = lim { F(x)/f(x) }{ f(x)/g(x) }
　　　　　　= { lim F(x)/f(x) }{ lim f(x)/g(x) }
　　　　　　= { 0 }{ 0 }
　　　　　　= 0
と計算できますね。
式中 lim は、どれも lim[x→a,x≠a] の意味です。

この回答へのお礼

ありがと　　　　　.

お礼日時：2025/05/05 18:54

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2025/05/05 16:38

ふつ～に定義を使うだけだが.

どこでなににどう困っている?

この回答へのお礼

困っていませんが、聞いただけ。

お礼日時：2025/05/05 16:41