nは自然数とする。5^(n+1) + 6^(2n-1) は31で割り切れることを証明せよ。という問題です。
数学的帰納法でとくと・・・
(1)n=1のとき
5^(n+1) + 6^(2n-1)
=5^(1+1) + 6^(2-1)
=5^2 + 6
=25+6
=31
となり、成り立っている。
(2)n=kのときも成り立っていると仮定すると
5^(k+1) + 6^(2k-1)となり、これは31の倍数である。
よって5^(k+1) + 6^(2k-1)=31Mとあらわすことができる(M:整数)
n=k+1のとき
5^(k+1+1) + 6^(2(k+1)-1)
=5^(k+2) + 6^(2k+1)
ここまではわかりました。
この問題はn=k+1のときも31の倍数であることを証明すればいいのですよね?
しかし5^(k+2) + 6^(2k+1)から
31{・・・・}となるように持っていくことができませんでした。
(私の考えが違っていたらすいません。)
解答を見たら(n=k+1のときの前までは解答と同じでした。)
n=k+1のとき
5^(k+1+1) + 6^(2(k+1)-1)
=5(5^(k+1) + 6^(2k+1)+31・6^2k-1
となっています。
これは31の倍数であるから、n=k+1のときも成り立つ。
(1)(2)より、すべての自然数について命題が成り立つ。
となっていました。
どうやって、5(5^(k+1) + 6^(2k+1)+31・6^2k-1に持っていたのですか?
できる限り詳しく教えてください。お願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちは、
そこまで、自分で考えたなら、以下で十分かと思います。
5^(n+1)+6^(2n-1) の nを一つ増やすと、
(5^(n+1))*5+(6^(2n-1)*36)になります。これは
(5^(n+1)+6^(2n-1))*36 - (5^(n+1))*31 です。
これの1項目は31の倍数と仮定しているもの掛ける36ですし、
2項目は31の倍数なのは明白です。
ご参考まで、勉学がんばってくだい。
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