中２数学：星型五角形の角の色々な求め方

星型五角形の先端部分の角の和は１８０度になるという説明で
http://okweb.jp/kotaeru.php3?q=1531323
このレスで１パターンの星型五角形の求め方を教えて頂き、中心の五角形の外角を利用して図のようにa+g+p=180度という２パターン目の求め方は自分で見つけました。
でもあといくつか別の求め方があるようなのですがなかなか思いつきません・・・。
レポート用の説明は要求しないので、どのような求め方があるか詳しく教えてください。それを頑張って自分でレポートするので・・・。（笑）
どうか夏の数学のレポートに皆さんの力を貸してください！！

No.3 ベストアンサー 回答者： gabygaby 回答日時： 2005/07/22 23:35

こんなのどうでしょう？

点A～Eを結んで大きな五角形を作ります。

【大きな五角形の内角の和】－【周りの五つの鈍角三角形の内角の和】
＋【余分にひいちゃった鈍角三角形の鈍角の和】

No.5 回答者： murabon 回答日時： 2005/07/22 23:58

いま脚光を浴びている「トポロジー」で考えると、こういうのもあります。

極端に歪んでいるものの確かに星型五角形である形を考えます。例えば、星型五角形の上の頂点を下に押し下げます。上の頂点は180度に限りなく近づき、残りの4つの角は限りなく0度に近づきます。
この歪んだ星型五角形の行き着く形は1本の直線になってしまいますが、その場合の角度は上の頂点が開ききった180度です。
ですので、星型五角形の内角合計は180度であるといえます。

同様の考え方で、他の多角形の内角の和もイメージでとらえるとわかりやすいと思います。

No.4 回答者： gabygaby 回答日時： 2005/07/22 23:46

補助線なしで。

周りの５つの三角形の内角の和を足して、余分な角を引きます。

【５つの三角形の内角の和】－【真ん中の五角形の外角の和】×２

No.2 回答者： info22 回答日時： 2005/07/22 23:03

１つの方法として、頂点Aから1筆書きの順に頂角を足し合わせていきます。

三角形の2つの内角の和が外角の１つに等しいという関係を繰り返し使って行き、最後に１つの三角形の3つの内角に行き着きます。
先ず、a+bを加えた角がどこかの外角に出来ませんか（図に記号がないので書けません）。その角とeを加え合わせた角が3角形の外角になっていませんか。その角と角ｂと角cで1つの三角形の3つ内角を構成していませんか。すべての角の和は三角形の内角の和の180度になる。

ボールペンの回転法とほぼ同じ理屈です。ボールペンを星型の辺にあわせて頂角の分だけ回転させていくと、すべての頂角分回転し最初の辺に一致したところで、ボールペンが逆方向を向きます。ボールペンの回転角が各頂点の和になります。これから5つの頂角の和が180度と求まります。

No.1 回答者： 7ayu7 回答日時： 2005/07/22 22:58

三角形BFDにおいて

三角形BFDの外角より
∠B＋∠D＝∠AFG

三角形CEGにおいて
三角形CEGの外角より
∠C＋∠E＝∠AGF

よって、
∠AFG＋∠AGF＋∠A（三角形の内角の和は180度より）
＝（∠B＋∠D）＋（∠C＋∠E）＋∠A
＝180（度）