レーザーを顕微鏡の対物レンズで集光させたときのスポットの半径rを求める式をおしえてください。また、できれば、開口数NAがからんだ式があればぜひ教えてください。

A 回答 (2件)

半径ω、波長λのビームを焦点距離fのレンズに入射した場合、屈折率nの環境でガウスビームの半径rは、



r = (fω/Z)/sqrt[1+(f/Z)^2]
Z = πω^2n/λ

となります。
NA は NA = n sin(θ)で、
tan(θ) = ω/f
なので、NAの式に直したければ、この式を上の式に代入してやると求まります。
注意点は
入射ビーム半径ωに対してレンズ径が十分大きくないときにはガウスビームの一部を遮光してしまい、上記式の通りとなりません。
また、対物レンズにNA=xxxと書かれていても、上記式で言うところのNAは実際にビームが通る半径から求めるNAですから、レンズのNAより小さくなります。

もっと単純には、
r=0.61λ/NA
がよく使われる式です。これはガウスビームに限りません。
(円形フランフォーファ回折像の計算から出てきます。)
概略数値を知りたいだけならばこれでもかまいません。
ただし、NAの計算に使うのはレンズ半径ではなくて、レンズ面に入射したビーム半径を使うことを忘れずに。

では。
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単にこのNAのレンズならばスポットサイズはいくつになるというものではありません.



反対に考えてみてください.

ガウスビームのスポット径を先に決め,ある距離離れた所のビーム径を求めます.その距離とビーム径の関係から焦点距離が決まります.

レンズ径は,通過させるビーム径に合わせるのではなく,ガウスビームのほとんどの電力を通過できるように選びます.さもないとレンズ径でガウスビームの裾野がケラれ,回折が生じてしまい,うまく絞れないことになります.
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http://ja.wikipedia.org/wiki/CM%E3%83%90%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%A0

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その運動エネルギーは
 E1 = (1/2)m*R1^2*ω1^2   ①

糸を引いて半径を R2 にしたときの角速度を ω2 とすると、その運動エネルギーは
 E2 = (1/2)m*R2^2*ω2^2   ②

角運動量が保存されれば
 L = m*R1^2*ω1 = m*R2^2*ω2 =const
より
 ω2 = (R1/R2)^2 *ω1   ③

よって②は、③を使って
 E2 = (1/2)m*R2^2*ω2^2
   = (1/2)m*R2^2*[ (R1/R2)^2 *ω1 ]^2
   = (1/2)m*(R1^4/R2^2) *ω1^2
   = E1 * (R1^2/R2^2)   ④
となることが分かります。(半径が 1/2 になれば、運動エネルギーは 4 倍になります)

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 F = m*r*ω^2
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 ω = L/(m*r^2)
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 dW = -F*dr = -[ L^2/(m*r^3) ]dr

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 W = ∫[R1→R2][ -L^2/(m*r^3) ]dr
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   = (1/2)L^2*(R1^2 - R2^2)/[ m(R1^2 * R2^2) ]

ここに L=m*R1^2*ω1 を代入すれば
 W = (1/2)m*R1^2*ω1^2*(R1^2 - R2^2)/R2^2
   = E1 * (R1^2 - R2^2)/R2^2          ⑤
ということになります。
 半径を 1/2 にするには、当初の運動エネルギーの 3 倍のエネルギーに相当する仕事をしなければいけないことになります。

①④より、運動エネルギーの差は
 E2 - E1
= E1 * (R1^2/R2^2) - E1
= E1 * (R1^2 - R2^2)/R2^2
ですから、⑤に一致することが分かります。

以上より、当初の半径を R1 の回転運動の運動エネルギーに対して、半径 R2 の回転運動の運動エネルギーは、半径を R1 から R2 に変化させるのに外から加えた仕事分だけ大きくなっていることが分かります。

No.1&3です。各々のエネルギーを計算してみましょう。

物体の質量を m として、当初の円運動の半径を R1 、角速度を ω1 とします。
その運動エネルギーは
 E1 = (1/2)m*R1^2*ω1^2   ①

糸を引いて半径を R2 にしたときの角速度を ω2 とすると、その運動エネルギーは
 E2 = (1/2)m*R2^2*ω2^2   ②

角運動量が保存されれば
 L = m*R1^2*ω1 = m*R2^2*ω2 =const
より
 ω2 = (R1/R2)^2 *ω1   ③

よって②は、③を使って
 E2 = (1/2)m*R2^2*ω2^2
   = (1/2)m*R2^2*[ (R1/R2)^2 *ω1 ]^2
   = (1/2)m*(R...続きを読む

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質問させて頂きました。
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Aベストアンサー

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