関数f(z)は単一閉曲線Cでかこまれた閉領域Dで有理型であり、C上では正則であって零点をもたないとする。いまf(z)はCの内部に極α1,…,αm,零点β1,…,βnをもつとし、s1,…,smをα1,…,αmの位数、t1,…,tnをβ1,…,βnの位数とするとき、偏角の原理
(1/2πi)∫_cf’(z)dz/f(z)=(1/2π)∫_cdargf(z)=Σ[k;1→n]t_k-Σ[j;1→m]s_j での証明過程です。
logf(z)は多価関数であるが、その一つの分枝を考えるとき dlogf(z)/dz=f’(z)/f(z) となることから
(1/2πi)∫_cf’(z)dz/f(z)=(1/2πi)∫_cdlogf(z)
logf(z)=log|f(z)|+iargf(z)においてlog|f(z)|はzがC上を一周しても変わらないので、logf(z)の変化量はiargf(z)の変化量に等しい。これより最初の等式
(1/2πi)∫_cf(z)dz/f(z)=(1/2π)∫_cdargf(z) がでる。以下…とあるのですが、疑問点は、「log|f(z)|はzがC上を一周しても変わらない」の箇所です。
例えば複素平面上で0を原点とし半径1の単一閉曲線C上をzが一周するのなら|f(z)|が変わらないのは解りますが、より一般的な正円でない単一閉曲線C上をzが一周してもlog|f(z)|は変わらないのでしょうか?なぜなのか教えてください。
それとも証明文はlogf(z)の各分枝は定数の差しかないから、logf(z)の変化量は定数分の差すなわちiargf(z)の変化量に等しい。といっているのでしょうか?
質問が解りづらい文章ですみませんが、宜しくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
この辺りの事には疎いのですが、
Cをぐるっと一周した時に、
logf(z)の変化量を考えると、log|f(z)|は変化していないので、logf(z)の変化量=iargf(z)の変化量となる。
(一周する過程では、log|f(z)|の変化量は0ではないでしょうが、一周し終われば、log|f(z)|の値は元に戻る)
式で書けば、∫_c dlog|f(z)| =0という感じの意味ではないでしょうか?
例えば、原点の周りを一周して、元の場所に戻ると、argzは変化するが、|z|は変化しないですよね。これと同じような事だと思います。
(的外れだったらすいません)
今晩は。ご回答ありがとうございました。
>例えば、原点の周りを一周して、元の場所に戻ると、argzは変化するが、|z|は変化しないですよね。…。
ここまでは私も同じように考えてみたのですが、式で書けば、∫_cdlog|f(z)|=0 というところに気が付きませんでした。Cauchyの積分定理ですね。それなら一般の単一閉曲線C上でも成り立つわけですものね。ご回答の解釈のとおりだと私も思います。
私の拙い質問文から疑問点を見事に汲み取っていただきありがとうございました。
また宜しくお願いします。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 量子力学 球面調和関数 導出 方位角成分 微分方程式の解 2 2022/07/02 13:40
- 物理学 微分方程式の物理現象への適用について 3 2023/05/14 12:22
- 数学 f(z)=1/(z^2-1)の時、 i) 0<r<2 C={z||z-1|=r} の時は a(n)= 7 2022/09/01 10:08
- 物理学 動き続けたときの双子のパラドックス。 12 2023/02/02 17:29
- 物理学 波動方程式のようなもの 1 2023/05/13 07:23
- 数学 多変数関数の微分とテイラー展開について 5 2022/04/24 16:55
- 大学受験 国立受験 11月からの大逆転劇を起こすには 7 2022/11/14 19:24
- 数学 フーリエ変換後の負の周波数成分の扱いについて 4 2022/09/03 10:18
- 数学 『弧は弦より長し』 8 2022/04/18 10:23
- 数学 数Bベクトル 平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを3:2に内分する点をE、対角線BDを2:5に内分す 3 2022/06/19 12:11
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
経時変化とは、どのような意味...
-
中3数学 教えてください
-
【数学】y=-2x2について、...
-
数学について質問です。例えば...
-
助数詞「一」「八」「十」の読み方
-
アイコス イルマワン メンソー...
-
下記数学の計算結果の違いがな...
-
「お考えに変化はあられますか?...
-
パソコンが変化していく
-
積の形で表現された式の領域は...
-
大変大きな変化
-
数学の循環式について
-
中国って、どうやって人民服を...
-
Y=aXは正比例と言いますが、Y=...
-
伸び率のマイナス数値からのパ...
-
かけ算、割り算の移項
-
xかけるxって答えなんですか?
-
1から9までの9個の数字から異な...
-
いちいち報告してくる友人
-
3分の2時間を 分に直すにはどー...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
Y=aXは正比例と言いますが、Y=...
-
経時変化とは、どのような意味...
-
微分のdx/dtというような表記の...
-
アイコス イルマワン メンソー...
-
数学の循環式について
-
大変大きな変化
-
「お考えに変化はあられますか?...
-
関数の変化の割合を求める時に...
-
数学について質問です。例えば...
-
助数詞「一」「八」「十」の読み方
-
「易経」の中の言葉の読み方
-
平均変化率
-
クラインの壺の話で
-
関数 xの値が1から3まで増加す...
-
電験三種の勉強をしています。 ...
-
積の形で表現された式の領域は...
-
数学 ①微分係数と極限値の違い...
-
エンベロープとは?
-
下記数学の計算結果の違いがな...
-
二次関数、yの変化の割合とは、...
おすすめ情報