柔軟に働き方を選ぶ時代に必要なこと >>

私は文系出身の32歳会社員です。

ふとしたきっかけで数学を学び直そうかなと
独学で最近始めました。

そこで...
本当に素朴で基本的な疑問で恐縮なのですが...

(1)何のために固有値を求めるのでしょうか?
(2)何のために固有ベクトルを求めるのでしょうか?
(3)何のために行列の対角化を行うのでしょうか?

回答は歴史的背景、学術的背景、感情...etc、なんでも結構です。
例)
・特定の法則で計算すると固有値が求められるので求めた。
・固有ベクトルは縦に並べてベクトルとしてみた方がすっきりするから「数列」ではなく「ベクトル」と呼んでみた。
・意味はない!目的はない!ただ数学として突き詰めているだけだ!
...などなど

あっ、でも急を要している訳ではないので
もしご存知の方、もしくは自論をお持ちの方は
お時間のある方はご回答いただければ幸いです。

ちなみにテキストは共立出版の『やさしく学べる基礎数学~線形代数・微分積分~です。
やっと線形代数が終わって、微分積分に入ろうというところで、ふと疑問を持ってしまいました...(~~;

本当に漠然とした質問で恐縮ですが、どうぞよろしくお願いいたしますm(__)m

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A 回答 (6件)

行列を 1個固定して考えてみます.


この行列は何かよくわからないんですが線形変換を表します.
たいていのベクトルはこの線形変換によって変な方向を向いてしまうんですが, まれに方向が変わらず長さだけが変わるベクトルがあります.
このように「長さだけが変わるベクトル」がこの線形変換 (ひいては行列) の固有ベクトルとなります. で, 長さの変化率が固有値.
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この回答へのお礼

確かに!
なんか[t]を使って、実数倍なんて書いてありました。
方向が変わらないから『固有』なんですね(^^)

ずっと『固有』という言葉に引っかかってました。
『何が固有なんだろう?』って。

いや~、すっきりしました。
ありがとうございましたー!

お礼日時:2006/03/25 16:58

話の切り口とか視点という言葉があると思いますが、固有値、固有ベクトルというのはそれに近いものがあります。



事象に対してすべてを不足なく記述しているのが行列による表現で、確かに計算機でガリガリ計算するのには適していますが、人間には何のことやらわからなかったり、計算するにしろえらく効率がわるいわけです。

これは日常にもよくあることで、起こった出来事全部見れば、情報としては十分なのですが、本質が何かわからなくなってしまうわけです。で、よく報告書であるとか、記事というものには切り口や視点というものが求められます。このとき、個人の経験や感性によって、その軸がきまることになり、その軸で「事実」を整理することで「真実」を浮かび上がらせるわけです。

翻って、行列の場合はどうかというと、実は行列の表現に落とし込んだ時点で、適切な切り口や視点というのを行列自身がもっていますよ!というのが、固有値、固有ベクトルの話なわけで、ありがたい話なので、線型代数のハイライトなわけです。で、固有ベクトルという、行列から決められる軸を選ぶことで、「本質」がみえるようになるよ(しかも、それは外部から与えられるのではなくて、行列が内在的にもっているものなのだよ)といっているのです。しかも、すごいのは、一般の生活のなかでは、切り口や視点を選ぶことは、他の側面を切り捨てることに他ならないのですが、行列の場合は、切り捨てるのではなく、固有値、固有ベクトルによって、本質を浮かびあがらせながら、情報を切り捨てることなく扱えますよ!というところがすごいのです。
これにより、

【1】切り口や視点というのが、主観によらずに決まる(内在的に決まる)ので、客観的にできること、

【2】情報としてシンプルかつ不足がないので、情報処理が簡潔かつ抜けの無い処理ができること、

とうのが固有値、固有ベクトルの意味としてのベースとなるところなのではないでしょうか?たとえば、これを露骨にやるのが社会科学でいうところの因子分析というやつですよね。

面白いのは【1】内在性が人文的な場合と違うのと、【2】が計算機科学や工学を支えているというところですかね。
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(1) 固有値を求めるのは,直接には対角化の計算過程


のためですが,線型変換を標準化したときの各方向の
倍率を表します。

(2) 固有ベクトルは変換した基底をなす各ベクトル
のことですから,対角化に際して基底を明確にする
のが求める理由。

(3) 行列の対角化は,線型変換ひいては多変数の構造
を理解しやすくするためです。

線型代数を学ぶ目的は,(一般的には)多変数を処理
・表現する方法論を身につけることにあります。
2変数で最も単純な1次写像でさえも

  (x,y)→(X,Y):X=ax+by,Y=cx+dy

というようにパラメタが(a,b,c,dの)4つも必要にな
ってしまうので,その重要性はおわかりだと思います。
そこで,多変数の(線型)1次写像を1変数の1次関数
の手軽さで扱おうと登場したのが行列で,上の写像を

  y↑= A(x↑)

とまとめたときに,Aに必要な演算を定義したのでした。
(ここで,「登場した」というのは歴史的にそのような
発想で生まれたという意味ではなく,学習意義として
そのように位置づけられたという意味です。)

さらに,抽象代数として行列を扱うのは,(イメージが
湧かないなどの理由で)難しいので,座標平面や座標
空間というスクリーンに,その像を図形として映し出す
ことで理解しようとしたものが線型変換です。

しかし,線型性をもつ変換というめちゃくちゃ強い条件
をもっているにも関わらず,これだけの工夫でもまだ
まだわかりにくい部分が残されます。
例えば,行列A=(-1,2,3,4)(2次の正方行列)で表さ
れた線型変換による直線y=x+1の像,といっても頭の
中でイメージできるほど単純ではありません。

ところが,「行列B=(2,0,0,1)(2次の対角行列)で
表された線型変換による像」と言えばどうでしょうか?
すぐイメージが湧きますよね。
そこで,標準基底(1,0),(0,1)でAと見ていたものを,
適当な基底でBと見ることができないか,と考えたもの
が(基底変換と)行列の対角化なのです。

基底変換を表す正則行列をPとすると

  A*P = P*B

であり,両辺の各列を比較したものが固有値を求める
ときに現れる式

  A(x,y) = k(x,y) (ベクトルは縦ベクトル)

となります。そして,

  P^(-1)*A*P = B

により行列Aは対角化されて,対角行列Bと同値である
ことがわかります。

さらに複雑なことに,対角化できない行列も存在します。
そのような事態に対して,対角化に近づけようと試み
たものが「ジョルダンの標準形」です。
主旨はもうおわかりでしょう。
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この回答へのお礼

...『ジョルダンの標準形』...
出てきませんでしたねぇ...調べないと。

ありがとうございました。

お礼日時:2006/03/26 00:39

はじめまして。



僕は物理学科を今年卒業する者です。

(1)
物理では”固有値”とは特別なイメージを持ちます。なぜなら、量子力学という学問ではその”固有値”が重要な役割を担うためです。しばしば、その固有値を『エネルギー固有値』なんて呼んだりします

(2)
連立方程式を解く場合なんかに対角化が有効なときがあります。連立方程式の数が少ない時は、中・高校のときのように、代入法のようなもので解けばよろしいのですが、方程式の数が10個も100個にも、さらには方程式の数はN個という一般の場合も考えないといけないときがあります。これを代入法で1つ1つ求めるのはきっと大変ですよね。このときに線形代数が役に立ちます。
以下にはn個の連立方程式がある場合の例です;

a11*x1+a12*x2+ … +a1n*xn = y1
a21*x1+a22*x2+ … +a2n*xn = y2
      ・
      ・
      ・
an1*x1+an2*x2+ … +ann*xn = yn



(a11 a12 ・・・ a1n) (x1) (y1)
(a21 a22 ・・・ a2n) (x2) (y2)
( ・   ・       ・ )*(  )=(  )
( ・   ・       ・ ) (  ) (  )
(an1 an2 ・・・ ann) (xn) (yn)

ここで

  (a11 a12 ・・・ a1n)   (x1)   (y1)
  (a21 a22 ・・・ a2n)   (x2)   (y2)
A=( ・   ・       ・ ),X=(  ),Y=(  )
  ( ・   ・       ・ )   (  )   (  )
  (an1 an2 ・・・ ann)   (xn)   (yn)
と、行列Aと列ベクトルX、Yをおくと、n個の連立方程式は

AX = Y   ・・・(☆)

となります。ここでもしAが対角化可能であるとしましょう。このとき、実はある行列Pを用いてAは対角化されます;

P^-1*A*P = Λ

ここで、P^-1は行列Pの逆行列です。実はPは行列Aの固有ベクトルだけから求められます。(したがって、ここで固有ベクトルを求める必要があります)Λは対角行列です(つまり対角成分のみ0でない行列です)。

すると P*Z = X ・・・(☆☆) (Zは列ベクトルです)と変数変換すれば(☆)から

A*(P*Z) = Y

⇒両辺に左からP^-1をかけると

(P^-1*A*P)*Z = (P^-1)*Y



Λ*Z = (P^-1)*Y

となります。これで、Zは求まりますね。なぜならΛは対角行列だからです。そしてZが分かれば、(☆☆)からXが求めることができるのです

(3)
固有値とは関係ないかもしれませんが、行列を用いることによって、数式がキレイにまとめられるという利点もあります。
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私も理系ではありましたが、大学で数学を始めたとき同じ思いがありました(^_^.)。



まあ、その頃は教えてGooはおろかインターネットなんてありませんでしたし、かといって自分で調べるような立派な学生でもなかったので、ほったらかしにしておきました。おかげで数学の成績はあまりよく無かったですし、ほとんど数学を使わない学科に進みました。

さて、ふとしたきっかけで工学部の大学院で勉強することになって始めて、あーそのためにやっていたのか。知っていたらもっとまじめに勉強しておくのだったと気づき、後悔した経緯があります。

勉強が進むとわかりますが、数学ではまず高次の常微分方程式の解法にかならず必要になってきます。

また、コンピュータ使用を目的とした、数値解析法などは現在いたるところで使われていますが、このベクトルや行列のさまざまな操作が重要になります。

更に物理系でベクトル解析、最近ホット?な最適化手法(OR)などやってもでてきます。

一度ちょと先に進んで、微分方程式の解法あたりを勉強してみると良いかもしれません。いやがおうでもこの問題に戻ってくることになります。

楽しんで勉強してください!
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この回答へのお礼

そうですね、第2章が微分・積分ですから
進めてみたいと思います。

私はまだ基礎過ぎてゴールが見えてないだけなのですね...(^_^;

頑張ります。

ありがとうございました。

お礼日時:2006/03/25 16:55

その線形代数が発達したのは、コンピュータによる計算技術が発達したのと大いに関係があります。



原因xと結果yを多成分のベクトルの形にして、y=Ax(Aは行列)の式で、原因から結果を一気に求めるために、そのような対角化、固有値の技術が発展しました。

ビルの振動問題であれば、xは1本1本の梁にかかる力、yはそれで動いた変位(または速度)です。梁は何千本とありますから、ベクトルも何千成分もあるでしょう。従って、行列Aは縦何千、横何千もの巨大行列になります。そのようなとき、xからyを求めるのに威力を発揮するのがコンピュータと線形代数です。

時間とともに動く現象であれば、そのような計算を何千回、何万回もくり返すことになります。

実際にコンピュータによる計算に関われば、線形代数の重要性を認識するはずです。なお、理工系の大学では、線形代数は大学1,2年の必須科目になっている基本中の基本技術です。

それじゃ。
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この回答へのお礼

コンピュータとの関係なのですか...
確かに2*2の行列の計算だけでも結構面倒でしたから
膨大な計算なんてコンピュータ無しでは考えられませんね...(^_^;

ありがとうございます!

お礼日時:2006/03/25 16:54

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Q固有値・固有ベクトルの物理的意味

初歩的質問です。行列に出てくる「固有値」「固有ベクトル」の物理的意味を分かりやすく教えてください。

Aベストアンサー

 具体例を3つあげます。(4)は一般論です。

(1)直行行列
 xとyをベクトル,行列Aを直交行列,y=Axとします。この場合Aの固有値は1(一般には±1)、固有ベクトルはAが表す原点まわりの回転の回転軸となります。何故なら、#1さんの仰るように、固有ベクトルは変換Aで動かないベクトルなので、回転の場合動かないのは、その回転軸です。また原点まわりの回転では、原点からの距離も不変なので、回転軸の倍率も1となります。

(2)振動方程式
 振幅の余り大きくない振動の微分方程式は、x"=Axとなります。ここでx"は、ベクトルxの時間に関する2階微分です。Aが対角形でないと解きにくいので、Aを対角行列に変換します。Aの固有ベクトルを並べた行列をSとすると、相似変換、
  y"=S(-1)ASy,x=Sy  (a)
が得られます。ここでS(-1)はSの逆行列、yはy=S(-1)xで定義されるベクトル,S(-1)ASは固有値が対角成分に並んだ対角行列です。よって式(a)のyの各成分は、他成分と連成しない(連動しない)分離された単振動の微分方程式となり、固有値の√は、おおくの場合、この振動系の固有振動数と呼ばれます。
 この分解は、振動系x"=Axのフーリエ分解とおおよそ等価です。固有振動数は位相スペクトルに対応し、yの各成分が振幅スペクトルに対応し、x=Syで得た解は、xのフーリエ分解とみなせます。

(3)構造の座屈方程式
 構造物の線形座屈現象は、「(A-λE)x=0がx≠0の解を持つ」というタイプの問題になります。ここでEは単位行列,λはスカラーです。これはdet(A-λE)=0となるλとxを探すのと同じで、行列Aの固有値問題そのものです。このときλは座屈荷重を表し、固有ベクトルxは座屈モードとなります。

 座屈荷重,座屈モードなどの用語はあえて説明しませんが、(1)~(3)より、「固有値・固有ベクトルの物理的意味」はケースバイケースです。そこで数学的な一般論を最後に付けます。

(4)一般論(ご存知でしたら、すいません)
 行列Aは、ある線形写像fを表します。線形写像とは要するに、多次元に拡張された1次関数の事です。一つの線形写像fに対して、それを表す行列Aは、じつは一つには定まりません。多次元(x-y-z-w-s-・・・軸で表せるもの)に入れる基底(座標軸)の方向によって、Aは色々姿を変えます。ある基底から別の基底への変換行列をSとした時、別の基底でAは、S(-1)ASという形になります。Sを特に固有ベクトルの方向に選ぶと、S(-1)ASは対角形(準対角形)になります。これが、線形写像fの基本構造です(準同型定理と根空間への分解定理)。逆に、一つの対角(準対角)行列Aに任意の正則行列Sで相似変換S(-1)ASを行った結果の全体は、Aに対応する線形写像fの表現行列全てです。従って「固有値と固有ベクトルが線形写像fの特徴づけを与える(fを定義してしまう)」ことになります。よって、固有値と固有ベクトルによって、その線形系の特徴を表せるので、(2)にように対角形に変換すると、急に問題の見通しが良くなります。ただし固有値と固有ベクトルの意味は、その見通しを得てから、物理的意味を考えるという順序が一般的と思えます。

 具体例を3つあげます。(4)は一般論です。

(1)直行行列
 xとyをベクトル,行列Aを直交行列,y=Axとします。この場合Aの固有値は1(一般には±1)、固有ベクトルはAが表す原点まわりの回転の回転軸となります。何故なら、#1さんの仰るように、固有ベクトルは変換Aで動かないベクトルなので、回転の場合動かないのは、その回転軸です。また原点まわりの回転では、原点からの距離も不変なので、回転軸の倍率も1となります。

(2)振動方程式
 振幅の余り大きくない振動の微分方程式は、x"=Axとな...続きを読む

Q行列・対角化可能の条件は?

行列で対角化可能の時の条件を教えて下さい。
問題で固有値、固有ベクトル、対角化可能の場合は対角化する正則行列を求めよ、とあります。
3×3行列で固有値が3つ、全て異なる場合は対角化可能。
固有値が1つ(3重解)の場合は対角化不可。
では、固有値が2つの場合は対角化可能と不可の場合がありますが、これはどのようにして見分けるのでしょうか?
例えば

   -3 -2 -2
B=[ 2  1  2  ]
    2  2  1

 の時、固有値は1、-1(重解)ですが対角化可能です。なぜでしょうか?宜しくお願いします。

Aベストアンサー

きりがないので前後の文脈から書き間違いを訂正してください。

3×3行列が正則行列で対角化可能であるための必要十分条件は「3つの独立な固有ベクトルを持つこと」です。
相異なる3つの固有値を持てば3つの独立な「固有ベクトル」を持つので対角化可能です。

2つの相異なる固有値しか持たない場合の例:
000
010
001
は対角化可能であり
000
011
001
は対角化不可能である。
1つの固有値しか持たない場合:
100
010
001
は対角化可能であり
110
010
001
は対角化不可能である。


従って
固有値が1つ(3重解)の場合は対角化不可。
はうそです。

Qジョルダン標準形ってなんのため?

線形代数の本を読んでいると、後ろのほうにジョルダン標準形がでてきます。
書いてあることをなぞることはなんとかできるのですが、固有値の次にいきなり前触れもなく現れるので、これが
・どういう(歴史的)要請・経由で
・何のために
現れたのかがわかりません。

ジョルダン標準形の本質は何でしょうか?

Aベストアンサー

ジョルダンは線形代数の最終関門でこの証明を一度は理解していたほうがいいでしょう
証明は灯台出版から単行本が出ていて何種類か乗っています
私は単因子(あるいは行列子因子)による方法を一度は理解しましたが忘れました
でも必要があれば読み返せばすぐに思い出せるようにはなっています
定理は簡単なのですが重要です
制御理論で使います
ジョルダンの標準形は正則行列で対角化できない行列を準対角行列に分解するものです
x(t)を要素がtの関数の列ベクトルとし
Aを要素が定数の正方行列とし
v(t)を要素がtの関数の列ベクトルとし
x’(t)=A・x(t)+v(t)としたときに
正則行列PによってP^(-1)・A・Pが対角行列になるならば
x(t)を簡単に求めることができます
しかし正則行列PによってP^(-1)・A・Pが対角行列にならなくても
正則行列PによってP^(-1)・A・Pがジョルダンの標準形になれば
少し複雑になりますが簡単にx(t)を求めることができます
本質が何打という質問は何回で答えることができる人はいないのでは?

ジョルダンは線形代数の最終関門でこの証明を一度は理解していたほうがいいでしょう
証明は灯台出版から単行本が出ていて何種類か乗っています
私は単因子(あるいは行列子因子)による方法を一度は理解しましたが忘れました
でも必要があれば読み返せばすぐに思い出せるようにはなっています
定理は簡単なのですが重要です
制御理論で使います
ジョルダンの標準形は正則行列で対角化できない行列を準対角行列に分解するものです
x(t)を要素がtの関数の列ベクトルとし
Aを要素が定数の正方行列とし
...続きを読む

Q「ノルム、絶対値、長さ」の違いについて

あじぽんと申します。よろしくお願いします。

ベクトルや複素数などに出てくる「ノルムと絶対値と長さ」というのは同じことを違う言葉で表現しているのでしょうか?
手元にある書籍などには全てが同じ式で求められています。
同じ式で表現されていても意味は少しづつ違っていたりするのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して定義できます。
数に対しては「長さ」という言い方はあまり聞かないと思います。
例えば、「3」の長さというような言い方は耳になじまないと思います。
一方、ベクトルの場合は、「矢印」という「線」になりますので「長さ」が定義できます。



最後の「ノルム」は、線形空間に対して定義できます。(もちろん実数、複素数やベクトルも線形空間です)
ノルムの条件を満たせばノルムになるため、複数のノルムが考えられます。
そのため、「(1,1)というベクトルに対するノルムは?」
という質問に対しては、「どのノルムを使うか?」という条件が欠けているため厳密に言うと「解答はできません」。
例としてよく扱われるノルムは「ユークリッドノルム」と言われ、通常のベクトルの長さと等しくなります。

ベクトルに対するノルムでは、「最大値ノルム」というのが他の例としてよく使われます。
これは、ベクトルの各要素の最大値で定義されます。
(例:(3,1,5)というベクトルの最大値ノルムは、3つの数字の最大値である5になります)

ノルムというと、線形空間であれば定義できるため、
f(x) = 3x^2+5x
という数式に対するノルムというのも考えられます。
(数式は、定数倍したり、足し算したりできますよね)
数式に対して「絶対値」とか「長さ」と言ってもピンと来ないですよね。

しかし、まだやられていないかもしれませんが、数式に対するノルムというのは存在します。


そうすると、なんでこんなんがあるねん。って話になると思います。

ここで、ベクトルに対してある定理があったとします。

それがさっきのような数式など他の線形空間でも成り立つんだろうか?
というのを考えるときに「ノルム」の登場です。

その定理の証明で、「ベクトル」として性質を使わずに「ノルム」の性質だけを使って証明ができれば、
それは「ベクトル」に対する証明でなくて「ノルムを持つもの」に対する証明になります。
(ちょっと難しいかな?)


このようにして、定理の応用範囲を広げるために「長さ」や「絶対値」の考え方をベクトルだけでなく「線形空間」という広い考え方に適用できるようにしたのが「ノルム」になります。

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して...続きを読む

QKer(核)やIm(像)の意味がわからない。

Aはm×n行列、xはn次ベクトル、bはm次ベクトル
このとき
KerA={x∈Rn|Ax=0}
ImA={Ax∈Rm|x∈Rn}と定義する。
※Rn,Rmのn,mはRの右肩にあります。

この定義のいみがよくわかりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連立一次方程式が問題なく解ける場合
(解が一通りしかない場合)もありますが、解がない場合だって
ありますよね? これも、Aの中身によります。
そこで、xをいろいろ変えてみて、でてくるbを
すべて集めてできた集合を、Im(A)とかきます。

なれないうちは、
Ker(A)は、連立方程式Ax=0の解xの集合、
Im(A)は、Ax=bが解ける場合のbの集合
とでも理解しておけばいかがですか?
本当は、方程式ではなくて、ベクトル空間の概念ですけども。

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連...続きを読む

Q線形・非線形って何ですか?

既に同じようなテーマで質問が出ておりますが、
再度お聞きしたく質問します。

※既に出ている質問
『質問:線形、非線型ってどういう意味ですか?』
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=285400
結局これを読んでもいまいちピンと来なかった...(--;


1.線形と非線形について教えてください。
2.何の為にそのような考え方(分け方)をするのか教えてください。


勝手なお願いですが、以下の点に留意いただけると大変うれしいです。
何せ数学はそんなに得意ではない人間+歳なので...(~~;

・わかりやすく教えてください。(小学生に説明するつもりぐらいだとありがたいです)
・例をあげてください。(こちらも小学生でもわかるような例をいただけると助かります)
・数式はなるべく少なくしてください。

『そんな条件じゃ説明できないよー』という方もいると思いますが、どうぞよろしくお願いいたしますm(__)m

Aベストアンサー

昨日「線形の方がなんとなくてわかりやすくないですか」と書いたんですが、やっぱり理系の人間らしく、もうちょっときちんと説明してみます。昨日は数式をなるべく出さないように説明しようとがんばったんですが、今日は少しだけ出しますが、勘弁してください。m(__)m(あと、長文も勘弁してください)


数学的にはちょっとここまで言えるかわかりませんが、自然界の法則としては、「線形」が重要な意味を持つのは、xの値が変化するにつれて変化するyがあったときに、

(yの増加量)/(xの増加量)=A(一定)

という規則が成り立つからです。

xやyの例としては昨日の例で言う例1だとxがガムの個数、yが全体の金額、例2だとxが時間、yが走った距離です。

この規則が何で役に立つかというと、式をちょっと変形すると、

(yの増加量)=A×(xの増加量)・・(1)

ということがわかります。つまり、Aの値さえわかれば、xが増えたときのyの値が容易に推測できるようになるわけです。


ここで「Aの値さえわかれば」と書いていますが、この意味を今から説明します。

自然界の法則を調べるためには何らかの実験を行います。例えば、りんごが木から落ちる運動の測定を行います。
ここから質問者様がイメージできるかわかりませんが、りんごは時間が経つにつれて(下に落ちるにつれて)落下するスピードが速くなるんです。今、実験として、1秒ごとにりんごのスピードを測定したとします。そしてその結果をグラフにプロットしていくと、直線になることがわかります。(ここがわかりにくいかもしれませんが、実際に実験を行うとそのようになるのです)

数学の問題のように初めから「時速100kmで走る」とか「1個100円のガム」とかいうことが与えられていれば直線になることはすぐにわかります。
しかし、自然界の法則はそうもうまくいきません。つまり、実験を行ってその結果をプロットした結果が直線状になっていたときに初めて「何らかの法則があるのではないか」ということがわかり、上で書いた「Aの値さえわかれば」の「A」の値がプロットが直線状になった結果、初めてわかるのです。

そして、プロットが直線状になっているということは、永遠にそうなることが予想されます。つまり、今現在はりんごが木から落ちたときしか実験できませんが、その結果を用いて、もしりんごが雲の上から落としたときに地面ではどのくらいのスピードになるかが推測できるようになるわけです。ここで、このことがなぜ推測できるようになるかというと、(1)で書いた関係式があるからです。このように「なんらかの法則があることが推測でき、それを用いて別の事象が予言できるようになる」ことが「線形」が重要だと考えられる理由です。

しかし、実際に飛行機に乗って雲の上からりんごを落としたらここで推測した値にはならないのです。スカイダイビングを想像するとわかると思いますが、最初はどんどんスピードが上がっていきますが、ある程度でスピードは変わらなくなります。(ずっとスピードが増え続けたら、たぶんあんなに空中で動く余裕はないでしょうか??)つまり、「線形から外れる」のです。

では、なぜスピードが変わらなくなるかというと、お分かりになると思いますが、空気抵抗があるからなんですね。(これが昨日「世の中そううまくはいかない」と書いた理由です)つまり、初めは「線形」かと思われたりんごを落とすという実験は実際には「非線形」なんです。非線形のときは(1)の関係式が成り立たないので、線形のときほど容易には現象の予測ができないことがわかると思います。


では、非線形だと、全てのことにおいて現象の予測が難しいのでしょうか?実はそうでもありません。例えば、logは非線形だということをNo.5さんが書かれていますが、「片対数グラフ」というちょっと特殊な形のグラフを用いるとlogや指数関数のグラフも直線になるんです。つまり、普通のグラフでプロットしたときに「非線形」になるため一見何の法則もないように見えがちな実験結果が「片対数グラフ」を用いると、プロット結果が「線形」になってlogや指数関数の性質を持つことが容易にわかり、それを用いて現象の予測を行うことが(もちろん単なる線形よりは難しいですが)できるようになるわけです。


これが私の「線形」「非線形」の理解です。つまり、

1) 線形の結果の場合は同様の他の事象の推測が容易
2) 非線形の場合は同様の他の事象の推測が困難
3) しかし、一見非線形に見えるものも特殊な見方をすると線形になることがあり、その場合は事象の推測が容易である

このことからいろいろな実験結果は「なるべく線形にならないか」ということを目標に頑張ります。しかし、実際には先ほどの空気抵抗の例のように、どうしても線形にはならない事象の方が世の中多いんです。(つまり、非線形のものが多いんです)

わかりやすいかどうかよくわかりませんが、これが「線形」「非線形」を分ける理由だと思っています。

やっぱり、「線形の方がなんとなくわかりやすい」くらいの理解の方がよかったですかね(^^;;

昨日「線形の方がなんとなくてわかりやすくないですか」と書いたんですが、やっぱり理系の人間らしく、もうちょっときちんと説明してみます。昨日は数式をなるべく出さないように説明しようとがんばったんですが、今日は少しだけ出しますが、勘弁してください。m(__)m(あと、長文も勘弁してください)


数学的にはちょっとここまで言えるかわかりませんが、自然界の法則としては、「線形」が重要な意味を持つのは、xの値が変化するにつれて変化するyがあったときに、

(yの増加量)/(xの増加量)=...続きを読む

Q固有ベクトルが複数の場合

| 0 -1 1 |
| 0 1 0 |
|-2 -2 3 |
という行列の固有値と固有ベクトルを求めて対角化せよという問題なんですが、
固有値は1(重解),2というのはわかって、
疑問に思ったのは固有ベクトルのほうなんですが、
解答には固有ベクトルは
(1) (0) (1)
(0) (1) (0)
(1) (1) (2)
となっていて、最初の二つは1に対する固有ベクトルとなっているんですが、
1に対する固有ベクトルは確かにその2つもあると思うんですが
(-1)
(1)
(0)
もある気がするんですがどうなんでしょうか?
1つの固有値に対しては2つ示せば十分なんでしょうか?

Aベストアンサー

1に対する固有値の重複度2ですから固有値の一般形は
a(1,0,1)+b(0,1,1)=(a,b,a+b)
なので、自由度2(任意に選べる変数がa,bの2つ)ですから
が固有ベクトルは2つのみ一次独立です。ですから
固有ベクトルが出来るだけ簡単になるa,bを2通り与えて固有値1に対する
固有ベクトルは2つだけ求めてやれば良いです。
たとえば固有値1に対する固有ベクトルは(a,b)の値を適当に与えてやると固有ベクトルは以下のようにいくつでも出来ますが、どれか簡単そうな2つだけ示せばいいですね。
(a,b)=(1,0)→(1,0,1)
(a,b)=(0,1)→(0,1,1)
(a,b)=(1,-1)→(1,-1,0)
(a,b)=(-1,1)→(-1,1,0)
(a,b)=(2,-1)→(2,-1,1)
(a,b)=(1,1)→(1,1,2)

Q固有値の求める順番?

3×3行列Aについて
A=
|0 1 1|
|1 0 1|
|1 1 0|
を対角化せよという問題で
まず
Φa(t)=
|-t 1 1|
|1 -t 1|
|1 1 -t|
より固有値はλ=-1(重解),2
となります。
このあとなのですが、固有ベクトルを求めるときにどちらから先に求めればいいのでしょうか?

実は先にλ=-1の固有ベクトルを求めると
A+E=
|-1 1 1|
|1 -1 1|
|1 1 1|
=
|1 1 1|
|0 0 0|
|0 0 0|
α,β(≠0)として
x=αt[-1 1 0] + βt[-1 0 1](tは転置行列を表しています。)
同様にλ=2のときにはγ(≠0)として
x=γt[1 1 1]
以上から固有空間は
V(-1) = {αt[-1 1 0]}+{βt[-1 0 1]}
V(2) = {γt[1 1 1]}
dimV(-1) + dimV(2) = 3であるから対角化可能で
固有ベクトルを列にもつ行列をPとして
P=
|-1 -1 1|
|1 0 1|
|0 1 1|
しかし答えには先に固有値λ=2の固有ベクトル先に求めて
x = αt[1 1 1]
x = βt[-1 1 0] + γt[-1 0 1]
として対角化を
P=
|1 -1 -1|
|1 1 0|
|1 0 1|
となっているのですが、自分の求めた方法では答えは間違っているのでしょうか?
固有空間から対角化するプロセスが間違っているのでしょうか?

3×3行列Aについて
A=
|0 1 1|
|1 0 1|
|1 1 0|
を対角化せよという問題で
まず
Φa(t)=
|-t 1 1|
|1 -t 1|
|1 1 -t|
より固有値はλ=-1(重解),2
となります。
このあとなのですが、固有ベクトルを求めるときにどちらから先に求めればいいのでしょうか?

実は先にλ=-1の固有ベクトルを求めると
A+E=
|-1 1 1|
|1 -1 1|
|1 1 1|
=
|1 1 1|
|0 0 0|
|0 0 0|
α,β(≠0)として
x=αt[-1 1 0] + βt[-1 0 1](tは転置行列を表しています。)
同様にλ=2のときにはγ(≠0)として
x=γt[1 1 1]
...続きを読む

Aベストアンサー

「固有ベクトルをならべる順序」と「対角化したあとの (対角線上の) 固有値の順序」が一致します.
今の場合, あなたの求めた P と答えにある P は順序が違うだけですから, 他に条件がなければあなたの答えでも正しいということになります.

Q最小多項式の求めかたを教えてください

情報数学 代数数学 離散数学どれにあたるかわかりませんが、行列ではないとおもいます

教科書をよんでもわからないので

いくつか例をあげてやり方を教えてくれませんか?
お願いします

Aベストアンサー

最小(消去)多項式 ですよね。
最小多項式は、特性多項式の約数になるので、
特性多項式を因数分解して、
因数の積で ≡0 になる組み合せを探せばよいです。

Qシグマなど文字を含んだままでの微分の仕方

最適化問題では微分が使われますが、Σや掛け算を省略するπが含まれていることも多々あります。また、文字を含んだまま計算しなければならないと思いますが、微分をするときにΣとπをどのように扱ったらよいかわかりません。
省略されているものをバラバラにしないで計算する方法をΣとπを例にとって教えてください。

Aベストアンサー

和の方は、
d/dx{Σfi(x)} = Σfi'(x)
または
d/d xi {Σf(xi)} = f'(xi)
になります。
前者は例えば、
fi(x) = x^i
Σfi(x) = x + x^2 + ...
のような式を x について微分した場合で、後者は例えば
f(x) = x^2
Σf(xi) = x1^2 + x2^2 + ...
のような式を xi について微分した場合です。

積については
d/d xi Πfi(x) = Π[j≠1]f(xj) f'(x1) + Π[j≠2]f(xj) f'(x2) + ...
= ΣΠ[j≠i]f(xj) f'(xi)
または
d/d xi Πf(xi) = Π[j≠i]f(xj) f'(xi)
になります。
前者は関数の積の微分であり、後者は微分しない変数は定数として扱っています(この意味では偏微分です)。


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