行列が０(ゼロ)に収束することを求めるにはどうすれば？

（確率を扱った問題のある期待値を求める問題の過程なのですが）

すべての固有値が１より小さいｎ×ｎ行列Ｐがあります。この行列Ｐのｋ乗(Ｐ^k)のｋを無限大にすると、行列Ｐは０(ゼロ)に収束するのです。これを求めるにはジョルダンの標準形を使用して求めるらしいのですが、その具体的な計算方法がわからなくて困っております。本など調べてみたのですが力不足で申し訳ありません。もしよければその計算方法や流れなど教えていただければ幸いです。よろしくお願いいたします。


行列について：
確率を扱った行列ですので、固有値（成分）は全て１より小さい分数で、対角成分の上(対角成分を除いた右上の三角形部分)は全て０です。左下の三角形部分には１より小さい分数が入っています。

No.4 ベストアンサー 回答者： guuman 回答日時： 2005/08/26 20:43

ほとんど考えずに書いているので未満を以下と書いてしまいました

もしジャルダンを使うのがいやならもっと簡単な方法が有ります

定理：
Ｐをｎ次正方行列とすると適当なユニタリ行列行列を使って△≡Ｕ＾－１・Ｐ・Ｕを上三角行列にすることができる。

この証明ははるかに簡単なのでこっちのほうがいいかもしれません
ジョルダンの場合にはこの証明を何通りか集めたものが一冊の本になっています

△の対角戦場には個誘致が並びます
よってＰ＝Ｕ・△・Ｕ＾－１だから
Ｐ＾ｎ＝Ｕ・△＾ｎ・Ｕ＾－１です

個誘致がすべて絶対値１未満であれば
△＾ｎが０に収束するのを示すのは簡単です
対角戦場に０が並んだ上三角を２畳してみれば猿でもわかります

この回答へのお礼

No.3の回答に続き、大変参考になりました！さらに詳しく調べて勉強してみます！

お礼日時：2005/08/28 23:02

No.3 回答者： guuman 回答日時： 2005/08/26 20:30

もしジャルダンを使うのがいやならもっと簡単な方法が有ります

定理：
Ｐをｎ次正方行列とすると適当なユニタリ行列行列を使って△≡Ｕ＾－１・Ｐ・Ｕを上三角行列にすることができる。

この証明ははるかに簡単なのでこっちのほうがいいかもしれません
ジョルダンの場合にはこの証明を何通りか集めたものが一冊の本になっています

△の対角戦場には個誘致が並びます
よってＰ＝Ｕ・△・Ｕ＾－１だから
Ｐ＾ｎ＝Ｕ・△＾ｎ・Ｕ＾－１です

個誘致がすべて絶対値１以下であれば
△＾ｎが０に収束するのを示すのは簡単です
対角戦場に０が並んだ上三角を２畳してみれば猿でもわかります

No.2 回答者： adinat 回答日時： 2005/08/26 18:56

過去にまったく同様の質問があります。

参考にしてください。

非対角成分が具体的に与えられるとn乗計算は大変にややこしくなるので、やはりジョルダン標準形に変換してn乗をするほうが分かりやすいです。二項係数などを利用して具体的に書くことができます。対角行列ではないので、非対角成分の上から評価して0に収束することを示すことになると思います。

参考URL：http://okweb.jp/kotaeru.php3?q=1457557

この回答へのお礼

参考ＵＲＬまでつけていただきありがとうございます！力不足ですが教えて頂いた手順でぜひやってみたいと思います！

お礼日時：2005/08/28 23:05

No.1 回答者： tatsumi01 回答日時： 2005/08/26 18:39

P の固有値を並べた行列をΛとすると、直交行列 R があって

P = R^T Λ R
P^2 = R^T Λ R R^T Λ R = R^T Λ^2 R
以下同様に
P^N = R^T Λ^N R
Λ は対角線に固有値 λi が並びますから、Λ^N は対角線に固有値 λi^N が並び、零行列に収束します。

この回答へのお礼

とても迅速な回答ありがとうございます！早速紙に書いてやってみました。とても勉強になり感謝いたします！

お礼日時：2005/08/28 23:07