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(確率を扱った問題のある期待値を求める問題の過程なのですが)
すべての固有値が1より小さいn×n行列Pがあります。この行列Pのk乗(P^k)のkを無限大にすると、行列Pは0(ゼロ)に収束するのです。これを求めるにはジョルダンの標準形を使用して求めるらしいのですが、その具体的な計算方法がわからなくて困っております。本など調べてみたのですが力不足で申し訳ありません。もしよければその計算方法や流れなど教えていただければ幸いです。よろしくお願いいたします。
行列について:
確率を扱った行列ですので、固有値(成分)は全て1より小さい分数で、対角成分の上(対角成分を除いた右上の三角形部分)は全て0です。左下の三角形部分には1より小さい分数が入っています。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
ほとんど考えずに書いているので未満を以下と書いてしまいました
もしジャルダンを使うのがいやならもっと簡単な方法が有ります
定理:
Pをn次正方行列とすると適当なユニタリ行列行列を使って△≡U^-1・P・Uを上三角行列にすることができる。
この証明ははるかに簡単なのでこっちのほうがいいかもしれません
ジョルダンの場合にはこの証明を何通りか集めたものが一冊の本になっています
△の対角戦場には個誘致が並びます
よってP=U・△・U^-1だから
P^n=U・△^n・U^-1です
個誘致がすべて絶対値1未満であれば
△^nが0に収束するのを示すのは簡単です
対角戦場に0が並んだ上三角を2畳してみれば猿でもわかります
No.3
- 回答日時:
もしジャルダンを使うのがいやならもっと簡単な方法が有ります
定理:
Pをn次正方行列とすると適当なユニタリ行列行列を使って△≡U^-1・P・Uを上三角行列にすることができる。
この証明ははるかに簡単なのでこっちのほうがいいかもしれません
ジョルダンの場合にはこの証明を何通りか集めたものが一冊の本になっています
△の対角戦場には個誘致が並びます
よってP=U・△・U^-1だから
P^n=U・△^n・U^-1です
個誘致がすべて絶対値1以下であれば
△^nが0に収束するのを示すのは簡単です
対角戦場に0が並んだ上三角を2畳してみれば猿でもわかります
No.2
- 回答日時:
過去にまったく同様の質問があります。
参考にしてください。非対角成分が具体的に与えられるとn乗計算は大変にややこしくなるので、やはりジョルダン標準形に変換してn乗をするほうが分かりやすいです。二項係数などを利用して具体的に書くことができます。対角行列ではないので、非対角成分の上から評価して0に収束することを示すことになると思います。
参考URL:http://okweb.jp/kotaeru.php3?q=1457557
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