行列の上三角化

次の行列の固有値は全て実数であることを確かめ、直行行列をつかって上三角化せよという問題があります
行列は
１　２　０
０　２　０
－２　４　－１
の３×３行列です
とりあえず、これをAとおき、|tE-A|を求めたところ、
t=1,-1,2となりました
t=1,2の場合はtE-Aに代入し、固有ベクトルはそれぞれc[-1 0 1]とc[1 2 0]と求めることができました
ところがt=-1のとき、簡約化した行列が
1 0 0
0 1 0
0 0 0
となってこの場合どう固有ベクトルを求めればいいのかが分かりません
以下の画像は私がt=-1をtE-Aに代入し簡約化する様子です

固有ベクトルは３つないと直行化して三角化できませんよね？
だから３つ固有ベクトルが必要なはずなんですけどどこをどう間違えているのか教えてほしいです
（簡約化なのかその先なのか）

No.1 回答者： 151A48 回答日時： 2012/05/11 18:54

よくわかりませんが，固有値-1に対する固有ベクトルはx=y=0より

0
0
1

ではないのですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： yuuyuu9 回答日時： 2012/05/11 21:54

そもそも、t=1,2のときの固有ベクトルも間違えてます。

簡約化は合ってますけど
今回のように数字が優しい行列の場合は簡約化する必要ないですよね？

簡約化した後はどうやって固有ベクトルを導いてますか？
そこが間違っているから、t=-1のときも解けないし、
t=1,2のときも間違っているのでしょう。

t=1のときの固有ベクトルの出し方の例を示すので
t=-1,2についても真似してやってみてください。

***************************************
tE-Aは
t=1のとき

0　2　0
0　-1　0
-2　4　2

よって、(tE-A)X＝0を
各行で計算すると

0*x1 + 2*x2 + 0*x3 = 0
0*x1 - 1*x2 + 0*x3 = 0
-2*x1 + 4*x2 + 2*x3 = 0

この連立方程式を解くと、
x2=0
x1=x3
となります。

よって、仮にx1をcとおいたときに

X=ｃ[1 0 1] となる
*************************************

ちなみに

t=-1のときは　c[0 0 1] (x1=x2=0なのでx3=cとおいた)


t=2のときは　c[1 -1/2 0]


以上