
行列の階数の問題です
次の問に答えてください。
解答には、行列Aの階数がrであることと、正則行列P,Qが存在してPAQ={ (Er,0),(0,0) } (Erはr次単位行列)と変形できることとが同値であることを使ってよいそうです。
R,Sを正則行列とするとき、rank(RAS)=rank(A)が成り立つことを示せ
正則行列が苦手で性質があまり理解できません
正則行列R,SであることからPAQと同じ形になることを言っていいのでしょうか?
それとも正則行列の性質から別の証明が必要なのでしょうか?
わからなくて困っています、教えていただけるとありがたいです。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
「使っていい」ことの内容は, 次の 2つが同値であるということです:
・A の階数が r
・(A に依存して) 適切な正則行列 P, Q を持ってくると PAQ = { (Er, 0), (0, 0) } とできる
一方, 示すべき命題は「どんな正則行列 R, S を持ってきても rank(RAS) = rank A」です. R, S がたまたま上でいっている「適切な」P および Q と等しければ (つまり R=P かつ S=Q であれば) RAS = { (Er,0),(0,0) } となりますが, 一般にはそうではないので「RAS = { (Er,0),(0,0) }」としてはいけません.
証明の流れとしては
・rank A = r と仮定する
・PAQ = { (Er, 0), (0, 0) } となるような正則行列 P, Q が存在する
・行列 RAS に対して P'(RAS)Q' = { (Er, 0), (0, 0) } であるような正則行列 P', Q' が存在する
・だから RAS の階数も r
くらいかな. 途中に抜けたところがあるので, そこを埋めれば終わり.
No.1
- 回答日時:
ん~, 「正則行列が苦手」ってことは「正則でない行列は苦手じゃない」ってことだよなぁ.... なんか, 直観的には珍しい感じがする.
「正則行列R,SであることからPAQと同じ形になる」はどのような流れを表しているのかが分かりません. どう考えているのか, きちんと書いてもらえますか?
この回答への補足
正則行列が絡んだ問題が苦手ですね
日本語があまりうまくないのですみません
仮定でPAQ={ (Er,0),(0,0) }というものがあって
R,Sが正則であればその正則行列の性質から同じようにRAS={ (Er,0),(0,0) }ということがいえるのでしょうか?
もしくはきちんとした証明があるのでしょうか?
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