カンパ〜イ!←最初の1杯目、なに頼む?

線形代数[行列]の証明問題の解答を教えて下さい。

※以下、Oは零行列、Eは単位行列を表す

1.Aが正則な対称行列であれば、Aインバース(Aの逆行列)も対称行列になることを示せ。

2.Aの3乗=Oのとき、E+A、E-Aはともに正則行列になることを示せ。

A 回答 (4件)

1


A・A^-1=E

(A・A^-1)^T=E^T

(A^-1)^T・A^T=E

(A^-1)^T・A=E

(A^-1)^T・A・A^-1=E・A^-1

(A^-1)^T=A^-1

2
-A^3=0

E^3-A^3=E

・・・・

E-Aの逆元は・・・

E-Aは・・

・・,・・・,・・・・を補足に書け

この回答への補足

・・・・ : (E-A)(E^2+EA+A^2)
・・・ : E+A+A^2
・・ : E+A+A^2 の逆行列
でしょうか?正直よく分かりません。

ちなみに、
E=E+A^3=(E+A)(E-A+A^2)
 =E-A^3=(E-A)(E+A+A^2)
を用いて、E+A、E-Aの逆行列を具体的に求める
という方針で解くとどうなるのでしょう。

補足日時:2007/05/19 20:35
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・・に正しい語句を補足に書いて締め切れ


この質問以外の質問は改めてすること

この回答への補足

訂正:ANo.3の補足
  Aが正則のとき、A・A^-1=A^-1・A=E

最終的に以下のように解答しました。
※「A^-1」はAインバース(Aの逆行列)を、「t^A」はAの転置行列を表す

1.証明)
Aが正則な対称行列だから、
t^(A^-1)・t^A=E
t^(A^-1)・A=E
t^(A^-1)・A・A^-1=E・A^-1
t^(A^-1)・E=E・A^-1
t^(A^-1)=A^-1
よって、A^-1も対称行列である。

2.証明)
A^3=O
A・A・A=O
A・A・A・A^-1=O・A^-1
A・A・E=O
A^2=O
E=E+A^3=(E+A)(E-A+A^2)=(E+A)(E-A+O)=(E+A)(E-A)
よって、E+A、E-Aは互いに逆行列同士なので、ともに正則行列である。

補足日時:2007/05/21 15:12
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この回答へのお礼

ご協力ありがとうございました。大変参考になりました。

お礼日時:2007/05/21 15:20

正則の定義とその必要十分条件を列挙せよ

この回答への補足

正方行列Aが逆行列をもつとき、Aは正則行列である。
Aが正則のとき、AA^-1=A^1A=E

補足日時:2007/05/20 15:51
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1.AのCofactorをAijとすると、


Aが対称行列であれば、Aij=Ajiが成り立つ。このことを示せばよい。

2.(E-A)(E+A)=Eが成り立つ。このことを示せばよい。

この回答への補足

もう少し具体的に(数学が苦手な人にも分かりやすいように)教えていただけると幸いです。
あと、「Cofactor」というのは何でしょうか。

補足日時:2007/05/19 21:09
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この回答へのお礼

ご協力ありがとうございました。

お礼日時:2007/05/21 14:51

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