数学を勉強している方々にとってはとてもばかげた質問だと思います。
線形代数という言葉は、どの分野ででてくるのですか?行列ですか?
それすらわかりません・・・。どういったことを勉強するのか、など、どんなことでもいいので教えてください。よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

うーん難しい質問ですね。



線形空間そのまま使える答えの書き方 / 飯高茂/監修 大田浩/著 神直人/著 丸山文綱/著

ISBN: 4-06-153970-1
価格: 2,000円(税別)

を読んでみるとよいかと思いますが取りあえず参考URLと下記ページをのぞいてみてください。

http://skk.math.hc.keio.ac.jp/~tose/math/lalg/ga …

参考URL:http://infoshako.sk.tsukuba.ac.jp/~hamada80/math …
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2002/02/01 22:54

詳しくはasucaさんの挙げておられる参考URLのHPに書かれてある通りです。



>線形代数という言葉は、どの分野ででてくるのですか?行列ですか?

線型代数は線型空間を扱う学問です。単に行列を扱う学問ではないです。
線型空間を扱っていれば解析学、幾何学、代数学でもでてきます。
物理学でも量子力学や相対論等で重要な役割を果たしています。

ベクトルや行列は線型空間の元や写像を最もわかりやすく表現できるので
それらに関する代数的性質が教科書で述べられているのだと思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2002/02/01 22:55

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Q線形代数分野のVandermonde行列式に関しての問題。

線形代数分野のVandermonde行列式に関しての問題。

Vandermonde行列式

Δ(t,x,y,z):=
│ t^3 x^3 y^3 z^3 │
│ t^2 x^2 y^2 z^2 │
│ t x y z │
│ 1 1 1 1 │

δ(x,y,z):=

│x^2 y^2 z^2 │
│ x y z │
│ 1 1 1 │

このとき、次のように整理できることが知られている。
Δ(t,x,y,z)/ δ(x,y,z)= t^3-e1(x,y,z)t^2 + e2(x,y,z)t-e3(x,y,z)t

ここで、各ei(x,y,z) (i = 1,2,3.)

この問題はどうやって解くんですか。教科書一生懸命見たけど、ぜんぜんわからなくて、教えてください。

Aベストアンサー

|x^3 y^3-x^3 z^3-x^3|
|x  y-x   z-x  | =
|1  0    0   |

|y^3-x^3 z^3-x^3|
|y-x   z-x  | =

(y^3 - x^3)(z - x) - (z^3 - x^3)(y - x) =

(y - x)(z - x){ (y^2 + yx + x^2) - (z^2 + zx + x^2) } =

(y - x)(z - x)(y - z)(y + z + x)

同様に δ = (y - x)(z - x)(y - z) も計算すれば、
e1 = (y + z + x) が分かる。

このように、根性だけでも3次くらいは扱える。
もう少しマシなやり方としては、

行列式の定義より、Δ は、t, x, y, z の多項式となるが、
t = x, y, z のとき、列に重複が生じて Δ = 0 になることから、
その多項式は、(t - x)(t - y)(t - z) で割り切れる。
Δ を第一列で余因子展開すると、t^3 の係数が δ であることが分かるから、
Δ = (t - x)(t - y)(t - z)δ である。
よって、Δ/δ = …

たぶん、これは、多くの教科書に載っている。

|x^3 y^3-x^3 z^3-x^3|
|x  y-x   z-x  | =
|1  0    0   |

|y^3-x^3 z^3-x^3|
|y-x   z-x  | =

(y^3 - x^3)(z - x) - (z^3 - x^3)(y - x) =

(y - x)(z - x){ (y^2 + yx + x^2) - (z^2 + zx + x^2) } =

(y - x)(z - x)(y - z)(y + z + x)

同様に δ = (y - x)(z - x)(y - z) も計算すれば、
e1 = (y + z + x) が分かる。

このように、根性だけでも3次くらいは扱える。
もう少しマシなやり方としては、

行列式の定義より、Δ は、t, x, y, z の多項式となる...続きを読む

Q線形代数>線形変換>表現行列

【問題】
 次のR^3→R^3の写像が線形変換かどうか調べよ。もし線形変換ならば、その表現行列も示せ。

  x       x+y+z 
( y ) |→ ( 0 )
  z       xyz 

/* ----------------------------------------------------------------------- */

と言う問題です。
解答例として以下のように挙げられているのですが、解らない部分があります。

/* ----------------------------------------------------------------------- */

【解答例】

  x      x+y+z 
f( y ) = (  0  )  とおく。
  z       xyz  

   0      1        1      1+2+1     4
f(( 1 ) + ( 1 )) = f( 2 ) = (  0  ) = ( 0 )
   1      0        1      1*2*1     2

  0       1      0+1+1     1+1+0     4
f( 1 ) + f( 1 ) = (  0  ) + (  0  ) = ( 0 )
  1       0      0*1*1     1*1*0     0

なので、

   0      1        0       1
f(( 1 ) + ( 1 )) ≠ f( 1 ) + f( 1 )
   1      0        1       0

よって写像の線形性を満たさないので線形変換ではない。・・・(答)

/* ----------------------------------------------------------------------- */

上記解答例の

  0         1
( 1 ) および ( 1 ) はどこからくるのですか?
  1         0

あとの部分は解ります。宜しくお願いします。

【問題】
 次のR^3→R^3の写像が線形変換かどうか調べよ。もし線形変換ならば、その表現行列も示せ。

  x       x+y+z 
( y ) |→ ( 0 )
  z       xyz 

/* ----------------------------------------------------------------------- */

と言う問題です。
解答例として以下のように挙げられているのですが、解らない部分があります。

/* ----------------------------------------------------------------------- */

【解答例】

  x      x+...続きを読む

Aベストアンサー

神様が与えてくれたんです.
というのは冗談ですが, この変換が「線形変換じゃない」と見たうえで, 「線形変換じゃない」ことを示すために適切と思われるものを任意に選んだだけです. 「それ以外はダメ」というものではありません.

Q線形代数 直交行列 回転行列

直交行列と回転行列について質問させて頂きます。

直交行列の定義は、
行列Aの転置行列がAの逆行列に等しい行列。
つまり、t^A=A^-1。よって、t^AA=At^A=Eが成り立つ。
このとき、行列Aは直交行列である。
また、直交行列の行列式は1である。

また、以前直交行列における「直交」の意味を質問
させて頂きました。
ご回答頂いた内容は、
>直交行列では A が含む列ベクトルが互いに
>直交し、大きさが全て 1 になります。
>直交行列では A が含む行ベクトルが互いに
>直交し、大きさが全て 1 になります。
です。ご回答頂いた内容は理解できています。


回転行列の定義
Wikipediaによれば、
回転行列は、常に実数を成分とする正方行列である。
代数学的には、n-次元空間での回転行列はn × nの直交行列であり、
その行列式は1である。

回転行列は常に実数を成分とするとあるのですが、
これはなぜなのでしょうか?

直交行列におけるベクトルの基礎体はCだが、
回転行列におけるベクトルの基礎体はRに限定
されるのでしょうか?

列成分で表される複素数を含む3×3直交行列があったとします。
第一列の成分が、
(a)
(b+ic)
(d)
で表される場合の第一列の大きさ(ノルム)は、
(a)
(b+ic)
(d)

(a)
(b-ic)
(d)
の内積の平方根と言う認識でOKでしょうか?


直交行列であるが回転行列ではない場合というのはあるのでしょうか?
回転行列だが直交行列でない場合というのは存在しないと思います。


以上、質問文が読みづらいかと思いますがご回答よろしくお願い致します。

直交行列と回転行列について質問させて頂きます。

直交行列の定義は、
行列Aの転置行列がAの逆行列に等しい行列。
つまり、t^A=A^-1。よって、t^AA=At^A=Eが成り立つ。
このとき、行列Aは直交行列である。
また、直交行列の行列式は1である。

また、以前直交行列における「直交」の意味を質問
させて頂きました。
ご回答頂いた内容は、
>直交行列では A が含む列ベクトルが互いに
>直交し、大きさが全て 1 になります。
>直交行列では A が含む行ベクトルが互いに
>直交し、大きさが全て 1 になります。
で...続きを読む

Aベストアンサー

 #10です。

>一点だけ気になったのですが、等長変換と直交変換は
>同じではないですよね?

 厳密には同じではないです。等長変換はアフィン変換の一種です(よって直交変換は特殊なアフィン変換です)。とは言えその前に、用語を確認させて下さい。自分は好き勝手に数学をやる方なので、この前のように皆さんと、用語がずれてる場合があります。アフィン変換とは、ある行列Aとベクトルξで、

  y=Ax+ξ   (1)

と書けるもの(x,yもベクトル)。これで良いでしょうか?。以下は、(1)で良いとした時の話です。


 等長変換は、内積を不変に保つアフィン変換だと言えます。前回は等長変換T対して、T(0)=0(0は零ベクトル)、すなわち|x|=|T(x)|を無条件で認めましたが今回はそうしないので、等長変換をfで表します。等長変換の定義は前回と同じです。

  |x-y|^2=|x|^2+|y|^2-2(x,y)           (2)

  |f(x)-f(y)|^2=|f(x)|^2+|f(y)|^2-2(f(x),f(y))   (3)

  |x-y|^2=|f(x)-f(y)|^2                (4)

となりますが、(2),(3),(4)を特にy=0で考え、

  |x-0|^2=|x|^2                     (2’)

  |f(x)-f(0)|^2=|f(x)|^2+|f(0)|^2-2(f(x),f(0))   (3’)

  |x-0|^2=|f(x)-f(0)|^2                (4’)

において、(2’),(3’)→(4’)と代入すると、f(0)に関する関係式、

  |x|^2-|f(x)|^2=|f(0)|^2-2(f(x),f(0))        (5)

が得られます。そこで(2),(3)→(4)と代入し、(5)を持ちこむと、

  (x,y)=(f(x)-f(0),f(y)-f(0))            (6)

を簡単に導けます。よって(6)からf(0)=ξとして変換Tを、T(x)=f(x)-ξと定義すれば、やはり(6)から、Tは内積を不変に保ち、しかもT(0)=0かつ|x|=|T(x)|を成り立たせる変換なのは、明らかです。Tが直交変換であるとはまだ言えませんが、Tに対しては、同じく(6)から、

  (x,y)=(T(x),T(y))                  (7)

なので、ここから#10の話を始める訳です。そうしてTが直交変換である事を導けば、T(x)=f(x)-ξなので、

 f(x)=Tx+ξ,Tは直交行列,ξはfに関する定数ベクトル.

となり、fは、内積を不変に保つアフィン変換という事になります。

※ 簡単な事なのにこういうのって、あんまり本には書かれていないんですよね・・・。「抽象的な話はいいからさぁ~」と昔はずいぶん愚痴りました・・・(^^;)。でも、じゅうぶん抽象的か・・・(^^;)。

 #10です。

>一点だけ気になったのですが、等長変換と直交変換は
>同じではないですよね?

 厳密には同じではないです。等長変換はアフィン変換の一種です(よって直交変換は特殊なアフィン変換です)。とは言えその前に、用語を確認させて下さい。自分は好き勝手に数学をやる方なので、この前のように皆さんと、用語がずれてる場合があります。アフィン変換とは、ある行列Aとベクトルξで、

  y=Ax+ξ   (1)

と書けるもの(x,yもベクトル)。これで良いでしょうか?。以下は、(1)で良いとした時...続きを読む

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以下の証明問題を教えてください。

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n 次直交行列 A は, 適当なユニタリ行列 P によって対角化可能である, という命題ですか.
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「Aを奇数次の直交行列でdetA=1とするとき1は固有値であることを示せ。」

Aが固有値1をもつから、|A-E|=0となることを証明すればよい。

|A|=|tA|=1より、|A-E|=|A-E||tA|=|AtA-tA|=|E-tA|=|E-A|=|-(A-E)|

ここまで自分でやりましたが、その後どうすればよいのかわかりません。

そもそも、このやり方ではまずいでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

|-(A-E)|
=|(A-E)(-E)|
=|(A-E)||-E|
=-|(A-E)|

-E はー1が対角線上に奇数個ならぶので行列式はー1

|A-E|=ー|A-E|
2|A-E|=0
よって
|A-E|=0


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