次の問題を教えてください。
2(log1/3x)^2+7log1/3x+3≦0
を満たすxの範囲を求めよ。
宜しくお願いします。
1/3は底です。

A 回答 (4件)

hinebotさんの回答から2日経っています。

この間、ご自身で解かれましたか?
最後までの解答を書きます。

まず、log(1/3)x の真数x には、x>0  ---(a)
という条件(真数条件)が付きます。
問題解決の鉄則「1つの式中に同じ物が2つ現れたら置き換えてみよ」により、
log(1/3)x=t と置くと、 (1/3)^t=x
元の式は、 2t^2+7t+3≦0
因数分解して (2t+1)(t+3)≦0
       従って -3≦t≦-1/2
左半分の -3≦t より、 (1/3)の-3乗 ≧ (1/3)のt乗=x
 (不等号の向きが反対になったのは、底(1/3)が1より小さいためです。)
  この左辺は、
(1/3)の-3乗 =(3の(-1)乗)の-3乗 
          =3の(-1)*(-3)乗 =3の3乗=27
  ですから、 x≦27   ---(b)
右半分の t≦-1/2 より、 x=(1/3)のt乗 ≧ (1/3)の(-1/2)乗 
  この右辺は、
  (1/3)の(-1/2)乗 =(3の(-1)乗)の(-1/2)乗 
         =3の(-1)*(-1/2)乗=3の(1/2)乗=ルート3
  ですから、 x ≧ √3  ---(c)    

(a),(b),(c)により、√3 ≦ x ≦27 
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折角ですから、途中までやっちゃいましょう。


log1/3x=t とおきます。
すると
与式=2t^2+7t+3=(2t+1)(t+3)≦0
よって、-3≦t≦-1/2
あとは、xをtで表して…。

この先は、ご自身でどうぞ。
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#1の補足です.


7log1/3xをyと置いてまずyについての2次方程式を解けばokですね.
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log1/3xが1/3を底としたxだとして答えだけ書くと


不等式は√3<=x<=27で成り立ちます.
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