対角線の数を求める公式

ｎ角形の対角線の数を求めるのに、ｎ(ｎ-３)/２という公式がありますよね。この式の証明を教えていただきたいのですが。

No.4 ベストアンサー 回答者： tiezo- 回答日時： 2002/02/14 23:59

ｎ角形には、ｎ個の頂点があります。

直線を引くには、二点を結べば線が引けます。
ｎ個の頂点を結ぶ線は、２個の点を選ぶことと同じなので　nＣ2　個あります。
ただし、対角線とは、外側のｎ個の辺は除くので
対角線の個数は、nＣ2 - n 個です。
あとは計算で
nＣ2 - n =n(n-1)/2-n
=n(n-3)/2 となります。

この回答へのお礼

　結構簡単な証明だという事がわかりました。どうもありがとうございました。

お礼日時：2002/02/15 09:09

No.3 回答者： tamatokuro 回答日時： 2002/02/14 22:36

まず、１つの角から対角線を引いてみると、

両隣の角と今引こうとしている角には、
対角線が引けないので（ｎ－３）
それがｎ角あるので　ｎ（ｎ－３）
全ての角から対角線を引くと、行って来いでダブってしまう為、
２で割らなければならない。
ということで、
ｎ（ｎ－３）なります。

この回答へのお礼

　ありがとうございました。分かりやすかったです。

お礼日時：2002/02/15 09:11

No.2 回答者： tkfm 回答日時： 2002/02/14 22:35

ある頂点から他の頂点へ引かれる対角線の本数は，自分と両隣の頂点を除いた頂点の数だけあります．....(n-3)

各頂点の合計は...n(n-3)

対角線を両方向から重複して2回数えているので1/2してn(n-3)/2

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2002/02/15 09:15

No.1 回答者： hazehaze 回答日時： 2002/02/14 22:31

ｎ角形の対角線の数

１・頂点の数は、ｎ個。
２・対角線は、隣り合わない頂点間の線である。
３・ある１つの頂点に対して、隣り合わない頂点の数は、 n-3 個。
４・すなわち、ある１つの頂点に対して、ｎ本の対角線が引ける。
５・ｎ個の頂点から、引ける対角線の数は、ｎ(n-3)。
６・頂点Ａから頂点Ｂへの対角線と、頂点Ｂから頂点Ａへの対角線は同一とするので、合計の対角線の数は半分になる。
７・よって、n(n-3)/2 になる。

ちょっと言葉の表現が、うまくないような気がします。
とくに、６あたりはカッコ悪いですね。
「対角線は、頂点を２つ持つから２で割る」と言ってもいいですね。

この回答へのお礼

　そんな事はありません。よく分かりました。ありがとうございます。

お礼日時：2002/02/15 09:14