高校入試（数学・図形）　正五角形の対称性

Question

上記内容について質問させてください。
図１のような正五角形と、その対角線によってできる図形について、問題集の解答では
「五角形ABCDEは正五角形なので、対称性から五角形FGHIJも正五角形となる」
と解説があったのですが、
○その「対称性」が、いったいどのような対称性なのか？
○どのようなことが言えるから、そのような「対称性」を持つに至るのか？
がよく分かりません。
　念のため、似たような質問を探してみたところ、あったにはあったのですが、ちょっと
理解できませんでした。
　お忙しいとは存じますが、ご回答いただけないでしょうか。

併せて、本問についての私の考え方もご指摘いただけると助かります。
その(1)
・点Oが五角形ABCDEと五角形FGHIJの相似の中心であることがいえればOK
・OA：OF＝OB：OG＝OC：OH＝・・・＝OE：OJなので、点Oは相似の中心なので相似
その(2)
・AB〃（平行）FG、BC〃GH、・・・、AE〃JFなので相似
（その(2)については、これでOKの根拠があまりありません。）

よろしくお願いします。

momordica · Accepted Answer

「対称性」については、中学校では「線対称」「点対称」などを学習していると思うのですが、
この問題の場合の「対称性」は、強いて言うなら、「回転対称」のことだと考えればいいと
思います。

要するに、正多角形というのは、ある点を中心に一定の角度回転することで、元の図形と
ぴったり重ね合わせることができる性質を持っているということです。
この問題の正5角形の場合なら、点Oを中心に5分の1回転（72°）だけ回転させると、
元とぴったり重なりますね。

このとき、各頂点や辺が元とぴったり重なるのはもちろんですが、それだけでなく、
各頂点を結ぶ5本の対角線によってできる星型や、さらにはそれらの対角線が交わって
真ん中にできる五角形FGHIJなども、回転前とぴったり重なるのが分かると思います。
つまり、対角線の星型も、五角形FGHIJも、回転対称になっているということです。

五角形FGHIJが72度回転させて元とぴったり重なったということは、それぞれの辺が
その隣の辺にぴったり重なったということですから、それはつまりそれぞれの辺は
その隣の辺と長さが等しいということを表しています。
それぞれ隣り合う辺の長さが等しいということは、結局、5本すべての辺の長さが
等しいということです。
また同じように、5つの角それぞれがとなりの角とぴったり重なることになるので、
5つの角もすべて等しいといことになります。

したがって、五角形FGHIJはすべての辺の長さが等しく全ての角が等しい五角形、
つまり正五角形ということになります。

…ということなんですが、早い話、
「正五角形ABCDEは5つの頂点のどれを上にしても同じに形になるんだから、
　その対角線でできる五角形FGHIJもその5つのうちのどの方向から見ても同じ形
　になるはず。そんな形は正五角形しかあり得ない」
ということです。

tomokoich · Answer

五角形ＡＢＣＤＥの内角はひとつ１０８°だから、五角形ＦＧＨＩＪの内角の一つ例えば∠Ｉが１０８°だとわかればあとは同じように１０８°のなるので相似になりますよね。

∠ＡＣＥ=∠ＢＥＣ＝３６°だから∠ＥＩＣ＝１０８°五角形の∠Ｉ＝１０８°
同じように他の∠Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｊも１０８°になります。

内角がどれも１０８°なら正五角形だから相似ですね。

FEX2053 · Answer

「平行」の根拠になった部分をよく見ると、台形が書けると思いますが、これ、各辺で合同でしょ？　だからです。合同になる台形は５つ「対称的に」書けますからね。

Willyt · Answer

○その「対称性」が、いったいどのような対称性なのか？
○どのようなことが言えるから、そのような「対称性」を持つに至るのか？

これは回答が同じになります。

１．対応する内角がすべて等しい
２．対応する辺の比がすべて等しい

この条件が二つの図形が相似であるための必要十分条件です。上記を対称性を使って証明できるというのです。２は簡単に証明できますね。２はちょっと大変ですが、三角形の内角の和が１８０度であることを使えばすぐに証明できます。

高校入試（数学・図形） 正五角形の対称性

「対称性」については、中学校では「線対称」「点対称」などを学習していると思うのですが、

五角形ＡＢＣＤＥの内角はひとつ１０８°だから、五角形ＦＧＨＩＪの内角の一つ例えば∠Ｉが１０８°だとわかればあとは同じように１０８°のなるので相似になりますよね。

「平行」の根拠になった部分をよく見ると、台形が書けると思いますが、これ、各辺で合同でしょ？ だからです。

○その「対称性」が、いったいどのような対称性なのか？

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