非整数の角を持つ多角形を考えること

たとえば２．８角形とか３.７８角形とか、あるいはマイナス３角形、さらにルート７角形などの多角形を考えることによって何か新しい理解が開けるでしょうか。

No.13 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2013/01/16 10:46

siegmund です．

すみません，頂角の意味を誤解していましたので，
>（中心角）+２×（頂角）＝π
は無視してください．

> 負の角数の場合は中心角では考えられないでしょうか。

No.9 で
> n < 0 は回転の方向が時計回りになるだけで，
> 出来る図形としては n > 0 のときと同じですね．
と書きました．

> 中心角に置換するとどうなりますか。

私の使っている中心角は正 n 角形に対して 2π/n です．
整数でない場合は n を√7 などとしたものです．
円周上の一点から 2π/n だけ回転した場所が次の頂点に
なりますから，私は中心角の方が使いやすいです．

この回答への補足

私の式で-３角形は三角形の頂角を２πから引いた頂角をもった図形（すなわち三角形を地からきりぬいた図形）に対応しているように思えるのですが・・・

補足日時：2013/01/16 13:26

この回答へのお礼

ご見解を披瀝いただき感謝いたします。

お礼日時：2013/01/24 05:49

No.12 回答者： siegmund 回答日時： 2013/01/15 00:27

siegmund です．

No.11 への補足拝見しました．

> 中心角（こういう言い方があるのかわかりませんが）
> ではなく頂角のほうから考えると、
> いわゆる星型も普通の多角形も統一的に考えられるように思ったのです。

> 中心角より頂角から考えたほうがイメージしやすいようにも思います。

どちらで考えても同じことです．
言うまでもありませんが，
(中心角) + 2×(頂角) = π
です．
(中心角) = π/(角数) ですから，私の好みは中心角で議論することですが，
頂角で考えても全く同じことでしょう．

> 整数角だったらどんなに大きくてもただ一回転で元へ戻ってしまうのに反し、
> 無理数角だと無限に回転するというような理解は無理でしょうか。

そのとおりです．
No.7 で，私が
> 中心角は 2π/s ですが，何度回っても元に戻りませんので，
> 無限に回転を繰り返すことになります．
と書いたのはそういう意味です．

この回答への補足

負の角数の場合は中心角では考えられないでしょうか。私も中心角で考えてみたいと思います。私が使っていた式でｙを中心角に置換するとどうなりますか。ご提示の（中心角）+２×（頂角）＝πの意味がわかりませんでした。

補足日時：2013/01/15 02:59

No.11 回答者： siegmund 回答日時： 2013/01/13 20:54

siegmund です．

No.10 への補足拝見しました．

> 貴方の拡張法で5/2角形が既に定義されていると理解してよろしいのでしょうか。

私の拡張法と書きましたが，私がオリジナルというつもりはありません．
Wikipedia の「星型正多角形」や「星型多角形」を見ると，
同じようなことが書いてあります．
大体，誰でも思いつくようなことですし・・・
この拡張法でよいのなら，五芒星が 5/2 角形ということになります．

> 五芒星の５の代わりに５/２を使えば、
> こういう図形もｎ（多）角形としてまとめられるようにも思いました。

五芒星は要するに「☆」マークの中の線を抜かないやつです．
「五芒星の５の代わりに５/２」の意味がよくわかりませんが，
五芒星が 5/2 角形だということは上で書きました Wikipedia のページにも
載っています．

この回答への補足

私の書き方が悪いのだろうと思いますが、中心角（こういう言い方があるのかわかりませんが）ではなく頂角のほうから考えると、いわゆる星型も普通の多角形も統一的に考えられるように思ったのです。またオリジナルかどうかはあまり気にしていません。誰でも考えつくようなものだけが正しいと思っています。後先はどうでもよいと思っています。私の式というのも別に所有しているという意味ではなく、この式から考えてみたらどうかという意味です。
　前のほうで出てきた塗りつぶすというのは、実は何回転でもしているということではないかと思いました。整数角だったらどんなに大きくてもただ一回転で元へ戻ってしまうのに反し、無理数角だと無限に回転するというような理解は無理でしょうか。中心角より頂角から考えたほうがイメージしやすいようにも思います。

補足日時：2013/01/14 04:04

No.10 回答者： siegmund 回答日時： 2013/01/12 17:48

siegmund です．

No.9 への補足を拝見しました．

> お話になっていることと私の疑問が重ならないのです。

どこが重ならないのか，ちょっと理解できません．
何か出てこないかとのが何を意味しているのかはよくわかりませんが，
とりあえず私の拡張法でどういう図形になるかはを明確にしたのが No.9 の内容です．

kaitara1 さんは，No.5 の補足のように

> 頂（角）の数をx,頂角をｙとしてｙ＝（ｘ－２）π/ｘとして、
> ｘに√７（≒２，６４）を入れ、ｙを求め、図形を描きます。
> 一辺の長さは適当に決め、この角度で方向を変える図形です

としたいのですよね．
正√7 角形というわけですね．
頂角を決めるのと中心角を決めるのは同じことですから(二等辺三角形だから)，
kaitara1 さんのいわれる描き方と私が No.9 で詳説した描き方は同じことです．

> 当然xは５ではありません

x が５だとは私はどこにも述べていません．
私が No.9 で述べたような拡張法なら，5/2 角形は五芒星になると言ったのです．
また，正「無理数」角形なら，
「五芒星の図で頂点数が５つではなくて
非常に大きいものを想像するとよいでしょう．」
と書いたのです．

この回答への補足

貴方の拡張法で5/2角形が既に定義されていると理解してよろしいのでしょうか。五芒星の５の代わりに５/２を使えば、こういう図形もｎ（多）角形としてまとめられるようにも思いました。

補足日時：2013/01/13 04:31

No.9 回答者： siegmund 回答日時： 2013/01/12 12:50

siegmund です．

No.8 への補足を拝見しました．

とりあえず，簡単に正なんとか角形を考えています．
で，３以上の自然数 n に対して，
半径 a の円に内接する正 n 角形をどうやって描くかを考えてみます．
xy 平面上に原点を中心とする半径 a の円を描き，
出発点を (a,0) とします．
この点から反時計回りに円周上で角度 2π/n だけ回転した点をとり，
直前の点と直線で結びます．
これを n 回繰り返しますと最初の場所 (a,0) に戻りますので，
ここで打ち切っても良いし続けてもよいです．
いずれにしろ，正 n 角形ができます．

この伝でゆくと，
n = 1 は (a,0) と (-a,0) を結ぶのですから直線ですね．
n = 0 は・・・，どうしようか．
n < 0 は回転の方向が時計回りになるだけで，
出来る図形としては n > 0 のときと同じですね．

正 1/n 角形だと？
(a,0) の次の点は 2nπ 回転した点ですから，もとの (a,0) と同じですね．
そうすると，正 1/n 角形はただの点ですか．

で，n の代わりに 有理数 r = p/q (p,q は互いに素)にして同じようにやります．
中心角は 2π/r = 2qπ/p なので，p 周して初めて起点 (a,0) に戻り，
その間に頂点が q 個できます．
例えば，p = 5，q = 2 なら五芒星になります．
Wikipedia で「星型正多角形」を見てください．

今度は n の代わりに無理数 s にします．
中心角は 2π/s ですが，何度回っても元に戻りませんので，
無限に回転を繰り返すことになります．
Wikipedia の「星型正多角形」の五芒星の図で頂点数が５つではなくて
非常に大きいものを想像するとよいでしょう．
そうすると，隣同士の頂点をつないでゆくとほぼ半径 a の円周になるでしょう．
また，内側の倒立した正五角形もほぼ円に近づくでしょう．
内側の円の半径は中心角 2π/s に対する弦の中心と原点との距離に他なりませんから
前に書きましたように a cos(π/s) です．
無限に回転を繰り返すことにより辺は無限個ありますので，
半径が a cos(π/s) から a の間の円輪が全部埋め尽くされるだろう，というわけです．
正確に言えば，この円輪中のどの点をとってもその任意近傍に辺が存在する，
と言うべきでしょうか．

空間次元が非整数のとき(フラクタル)みたいに
新しい地平が切り開かれるかというと，
上の話だけではどうもな～，という気がします．

１０年後，
「しまった，なんであのとき深く追求しなかったのだろう」
となるかもしれない．

この回答への補足

私の理解力の不足が原因ですが、お話になっていることと私の疑問が重ならないのです。お話の中に出てくる五芒星の頂角を私の式のyに代入したときのｘから、この図形をｘ角形と呼ぶことで何か出てこないだろうかというのが私の疑問です。当然xは５ではありません。

補足日時：2013/01/12 16:49

No.8 回答者： siegmund 回答日時： 2013/01/10 14:02

KO です．

訂正します．
内径が a sin (θ/2) ⇒ 内径が a cos (θ/2)
最初は kaitara1 さんの y で表現していたのをθに直した際に
直し忘れました．

この回答への補足

貴方のご指摘を完全には理解できなかったのですが、私の式でｘを３から２に近づけていくと頂角は０に近づいていきますから作図すると一種の塗りつぶしになると思います。二角形というのは一種の円のようなものなのでしょうか。一方１の方から２に近づけた場合にはxが１の場合、頂角は－πとなりますから各頂点で折れ曲がれず、描きようがない図形になっるのかと思っています。ただ１と２の間ではマイナスの符号を持った頂角をもつ星型の図形になるとすれば作図の回転の向きを逆にすることになるのでしょうか。強引に１角形も定義できるかとも思いますが無理でしょうか。回転の向きに関連して-ｎ角形になると頂角は常に正になりますが、ｎ角形を切り取って残っている部分の角度に対応する図形のようにならないでしょうか。たとえば３角形を切り取って残っている図形の頂角を計算すると５π/３となりますが、３角形のπ/３とたすと２πになっています。

補足日時：2013/01/10 19:59

No.7 回答者： siegmund 回答日時： 2013/01/10 13:50

MagicianKuma さんの言われるように

「数学者は抽象化や拡張が大好きですから、
ひょっとしてそのような概念を考えつく人が現れるかもしれませんねぇ」
ですね．
自然数から整数，有理数，無理数，・・・と拡張された好例は言うまでもありませんし，
ちょっと見には自然数値しか取り得ないように思える空間の次元や
微分あるいは積分の階数も非整数に拡張されています．
案外，鉱脈が眠っていて，
「kaitara1 の非整数多角形」という名前がつくかも知れません．

No.5の Tacosan さんへの補足のようにルート７角形を作ると，
中心から頂点への距離を a (つまり，半径 a の円に内接するルート７角形)，
中心角をθ=2π/√7 として，
内径が a sin (θ/2)，外径が a の円輪を全部埋め尽くしてしまうように思えます．

No.6 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2013/01/10 00:20

数学者は抽象化や拡張が大好きですから、ひょっとしてそのような概念を考えつく人が現れるかもしれませんねぇ。

非学な私には思いもつきませんが・・・
虚数だって最初に習ったときは、「なんじゃいこりゃ」と思ったものです。
質問に戻って、「考えることによって何か新しい理解が開けるでしょうか？」の回答なら、
「そんな事を考えても無駄だった。」という理解も含めいろんな可能性があるのでしょう。

この回答へのお礼

コメントをいただきありがとうございます。

お礼日時：2013/01/10 04:15

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/01/10 00:02

とりあえず, あなたのいう「ルート７角形」とやらをみせてもらえませんか?

この回答への補足

頂（角）の数をx,頂角をｙとしてｙ＝（ｘ－２）π/ｘとして、ｘに√７（≒２，６４）を入れ、ｙを求め、図形を描きます。一辺の長さは適当に決め、この角度で方向を変える図形です。もちろんはじめの頂角の位置に戻pることはなく無限のらせんを描くことになると思います。

補足日時：2013/01/10 04:31

No.4 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2013/01/09 11:59

多角形にはなりませんから

「２．８角形とか３.７８角形とか、あるいはマイナス３角形、さらにルート７角形などの多角形を考えることはできません」

　負の正の数を考えるとか、平面状にない平面状の点を考えるようなものです。

『多角形（たかくけい、たかっけい、英: polygon）とは、平面上の閉じた単純折れ線、および平面上の閉じた単純折れ線によって囲まれた図形のことを指す。( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E8%A7%92% … )』

この回答へのお礼

角度は連続なのに多角形のほうは不連続であることを何とかできないものでしょうか。ご教示感謝いたします。

お礼日時：2013/01/09 18:51