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1辺の長さが1の正五角形ABCDEにおいて、対角線AC,BEの交点をFとし、∠ABE=θとおく。(△ABE∽△FABは使ってもよい)
(1)線分BFと線分BEの長さを求めよ
(2)cosθの値を求めよ
(3)△ABFと△ACDの面積比を求めよ

という問題なんですが、さっぱりです。式が分かると後は自分で考えたいので、計算式だけでいいので教えてください。

A 回答 (3件)

(1)θはすぐにわかり、AE=FEからBF=x、BE=x+1で、△ABE∽△FABの比から


  計算。
(2)△ABFで余弦定理を使い、cosθ=(AB^2+BF^2-AF^2)/(2AB*BF)で計算。

(3)∠CAD=θ、AC=AD=BEであることから、面積の公式で
  △ABF=(1/2)AB*BFsinθ、△ACD=(1/2)AC*ADsinθ なので、
 面積比は 簡単にして、AB*BF:AC*AD から計算。
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パッと思いついた方針:


(1): 角度を求めればわかるけど実は EF = 1.
(2): (1) の結果から cos θ/2 が求まります ⇒ 倍角
(3): AD と BE の交点を G とおいて, ABF, AFG, ACD の面積の比をがんばって求める. EF と CD は平行です.
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対角線を引いて、


中に出来る2等辺三角形に気づけば、解けるはず。

(対角線5本引いたら、十分すぎるけど)
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