三角比の応用問題が・・・

1辺の長さが1の正五角形ABCDEにおいて、対角線AC,BEの交点をFとし、∠ABE=θとおく。（△ABE∽△FABは使ってもよい）
（1）線分BFと線分BEの長さを求めよ
（2）cosθの値を求めよ
（3）△ABFと△ACDの面積比を求めよ

という問題なんですが、さっぱりです。式が分かると後は自分で考えたいので、計算式だけでいいので教えてください。

No.3 回答者： debut 回答日時： 2006/06/09 22:23

(1)θはすぐにわかり、AE=FEからBF=x、BE=x+1で、△ABE∽△FABの比から

　　計算。
(2)△ABFで余弦定理を使い、cosθ=(AB^2+BF^2-AF^2)/(2AB*BF)で計算。

(3)∠CAD=θ、AC=AD=BEであることから、面積の公式で
　　△ABF=(1/2)AB*BFsinθ、△ACD=(1/2)AC*ADsinθ　なので、
　面積比は　簡単にして、AB*BF:AC*AD から計算。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2006/06/09 17:12

パッと思いついた方針:

(1): 角度を求めればわかるけど実は EF = 1.
(2): (1) の結果から cos θ/2 が求まります ⇒ 倍角
(3): AD と BE の交点を G とおいて, ABF, AFG, ACD の面積の比をがんばって求める. EF と CD は平行です.

No.1 回答者： redowl 回答日時： 2006/06/09 17:01

対角線を引いて、

中に出来る２等辺三角形に気づけば、解けるはず。

（対角線５本引いたら、十分すぎるけど）