行列の正定・半正定・負定

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質問者：sou_toma
質問日時：2006/07/29 02:52
回答数：2件

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか？
過去の質問の回答に

>ｃを列ベクトル、Aを行列とする。
>（cの転置）Aｃ＞0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか？
また、半正定は固有値に＋と－が交じっていて、
負定は固有値が－のみなのですか？

どなたかお願いしますorz

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： scale--free
回答日時：2006/07/29 17:50

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、

行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義　ｎ次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』ｎ次元（列）ベクトル c に対して、
（cの転置）Aｃ＞0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
（ｃとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。）
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
（cの転置）Aｃ＞0とは限りません。
例えば、
A　＝
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は１です。
しかし、
（cの転置） = [ 1, -2]
とすると、
（cの転置）Aｃ = -3 < 0
となってしまいます。（実際に計算して確かめてください。）
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』　--> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて０以上です。（つまり０も許します。）
逆に、対称行列の固有値がすべて０以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルｃに対して
（cの転置）Aｃ＜0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

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No.1

回答者： pyon1956
回答日時：2006/07/29 06:10

ここ

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89% …
にあるように、
正定値は、固有値がすべて正、
半正定値は固有値がすべて非負、すなわち正または０、
負定値は固有値がすべて負、ということになります。
一方、（cの転置）Aｃ＞0の場合は、cの条件は0ベクトルでない任意のベクトル（もちろんかけ算できる次元のものであることが前提）です。
この表現についてはたとえば
http://case.f7.ems.okayama-u.ac.jp/statedu/defin …
などをご参考に。