No.2ベストアンサー
- 回答日時:
まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、
定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。
です。
対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。
ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。
また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。
さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。
No.1
- 回答日時:
ここ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89% …
にあるように、
正定値は、固有値がすべて正、
半正定値は固有値がすべて非負、すなわち正または0、
負定値は固有値がすべて負、ということになります。
一方、(cの転置)Ac>0の場合は、cの条件は0ベクトルでない任意のベクトル(もちろんかけ算できる次元のものであることが前提)です。
この表現についてはたとえば
http://case.f7.ems.okayama-u.ac.jp/statedu/defin …
などをご参考に。
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