楕円の高さ、幅寸法が決まったときの楕円作図？

大工です、楕円形の天井穴あけの仕事を、過去にいく度か施工しました。原寸の楕円を描いた方法は、左右に釘を１本づつ打ち、その２本の釘を輪投げ状態、（伸びないタコ糸で）の物を作り、そのタコ糸の内側を外側に引っ張った状態で外周移動して求める方法でした。
説明がいまいちで・・・要は中心を二点設けて、輪にしたもので・・描きました。
いつも、何度か、繰り返して正確じゃあないものでしたが・・・
そこで高さ、幅がわかっているときに、左右に打ち込む釘と釘の距離寸法、及び糸の長さは、どのような式になるのでしょう？
説明足らなければ、補足します。

No.3 ベストアンサー 回答者： SortaNerd 回答日時： 2006/08/13 23:33

No1さんの回答では分かりにくいと思いますので具体例を。

例として横100cm縦60cmの楕円を描くとします。
・まず、十文字を描いて、交点の左右・上下に印を打ちます。つまり交点の左右50cmづつと上下30cmづつに印がある状態です。
・次にひもを用意して長半径の長さを印します。この場合なら50cmのところに印をつけます。
次が重要。
・上(または下)30cmの所の印に一端を合わせ、もう一端を横線に乗るようにしてピンと張ります。ヒモが斜めになった状態です。
・このとき横線に乗った位置に釘を打ちます。この場合横40cmの位置に来るはずです。
・反対側にも同様に釘を打ちます。
・2本の釘の間の紐の長さは長径と同じです。ただし輪にするためには釘の間の距離分だけ余分に必要です。

この回答へのお礼

大工の棟梁が、こいつ計算弱そうだから、こいつにはこれでよい！あたり
√を求めるには電卓も必要だし！
いや、式を知りたがったのは私ですが。現場ではこの方法が一番重宝されるような気がします。
若いころ、お寺の屋根の曲線は（反り）は糸を吊り下げて、原寸を描いたとか・・・それは確かか調べてはいませんが。なるほどと思ったことがあります。
感謝の気持ちで、豆知識を、「反りむくり」という屋根名称があります？（水牛の角を正面から見たような）あれです。
ありがとうございました。

お礼日時：2006/08/14 08:56

No.6 回答者： poohron 回答日時： 2006/08/13 23:45

No.4さま

あら、ほんとだ。失礼しました(;^_^A
ということで訂正。

L=a+d


ご指摘ありがとうございます。
そういえば昔、よくケアレスミスで減点食らってました（笑）

No.5 回答者： debut 回答日時： 2006/08/13 23:39

例えば、横幅が２ｘcmで、縦の幅が２ｙcmで、横幅の方が長いもの

とします。（２乗は^2のように表記しました）
楕円の焦点間の距離は２√(x^2-y^2)となるので、釘を打つ間隔は
この長さになります。
また、輪にする糸の寸法は、2x+2√(x^2-y^2)になります。

例えば、横幅10cm、縦幅８cmならば、それらを２で割った５と４を使って
釘の間隔・・2√(5^2-4^2)＝2×3＝6
糸の長さ・・2×5+2√(5^2-4^2)＝16
のようにできます。

この回答へのお礼

例を挙げてのご回答ありがとうございます。
道具箱の、片隅にこの式を書きこんで
いざ、楕円のくり抜き仕事が来たときに、役立てようと思います。
（２乗は^2のように表記しました）＾2の^記号も~チルダと同じキーだとやっとわかりました。
ありがとうございました。
お盆で少しお時間に余裕・・ついでに過去に苦労して（何度も削り合わせて）施工した三角錐について質問してみます。別質問で。

お礼日時：2006/08/14 07:17

No.4 回答者： char2nd 回答日時： 2006/08/13 23:33

　＃２さま、余計なお世話かも知れませんが、質問者さんが使おうとしている糸は、「輪」の状態になっています。

焦点に両端を固定しているわけではないので、その式では糸の長さが足りません・・・

No.2 回答者： poohron 回答日時： 2006/08/13 23:24

2焦点間の距離をd、楕円の長径をa、短径をbとしましょう。

また、楕円の中心をO、2つの焦点をPとQ、
長径・短径の頂点（？）をそれぞれA、Bとします。

△BOPを考えたとき、各辺の長さは
BO=b/2、OP=d/2
三平方の定理より、
(BP)^2=(BO)^2+(OP)^2
　　　=(b/2)^2+(d/2)^2
△BOQの場合も同様です。
(BQ)^2=(BO)^2+(OQ)^2
　　　=(b/2)^2+(d/2)^2

糸の長さL=BP+BQなので、
L=2√((b/2)^2+(d/2)^2)

さて、糸の両端をP,Qに固定したまま
長径の頂点Aに糸を動かしてみましょう。
糸はAP間に1本、AQ間に1本ですね。
ただし、APはAQの区間も含んでいますから、
言い換えるとPQ間に1本、AQ間に2本。
すなわち、糸の長さLはこう表すこともできます。
L=(PQ)+2(AQ)

ここで、点Aの反対側にある頂点をA'とすると、
長径の長さaは(A'P)+(PQ)+(QA)
A'PとAQの長さは当然同じですから、
a=(PQ)+2(AQ)
…おや、L=(PQ)+2(AQ)と一致しました。

ということは、
L=2√((b/2)^2+(d/2)^2)
=a

a=2√((b/2)^2+(d/2)^2)
a^2=4((b/2)^2+(d/2)^2)
=b^2+d^2
移項して、
d^2=a^2-b^2

ということで、
焦点間の距離d=√(a^2-b^2)
糸の長さ　　L=a

No.1 回答者： char2nd 回答日時： 2006/08/13 22:39

　こちらに同様の問題と、その解答例があります。

http://web2.incl.ne.jp/yaoki/daen.htm

この回答へのお礼

釘間の距離Ａ＝√Ｌ二乗－Ｓ二乗
糸の長さ　Ｂ＝Ｌ+√Ｌ二乗－Ｓ二乗
Ｌは楕円の長い方
Ｓは短い方・・・ですね。
やってみます。ありがとうございました。

お礼日時：2006/08/13 23:43