丸太から最大の方形角材を製材の寸法採りの計算についてしつもんです。

丸太から最大の方形角材を製材の寸法採りの計算についてしつもんです。

数学の文章題なのですが、直径10cmの丸太から周囲28cmの長方形の角材をとるには縦、横を何センチメートルにしたらいいか、という問題なんですがまったくやり方が分からなくて困っています。

縦をxcm, 横をycmにして
2x+2y=28
x+y=14

とおいて計算してみたのですがx,yともに消えてしまって計算になりません。
なにか公式などがあるのでしょうか？ご回答の方お願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： edomin7777 回答日時： 2010/10/30 11:25

最大なので、対角線の長さが10cmになるはずです。

長方形の１辺の長さをxと置くと、もう一方の辺は(14-x)になります。
（周囲の長さが28cmだからです。）

3平方の定理を用いると
x^2+(14-x)^2=10^2
x^2+196-28x+x^2=100
2x^2-28x+96=0
x^2-14x+48=0
(x-6)(x-8)=0
x=6,8
になるので、一辺の長さは6cmもう一辺の長さは8cmと判ります。

この回答へのお礼

ご回答の方ありがとうございます。また大変詳しい解説の方ありがとうございます。おかげで解決いたしました。三角形の定理を使うとは予想していなかったのですがとてもすっきりいたしました。

お礼日時：2010/10/30 22:48

No.3 回答者： momordica 回答日時： 2010/10/30 12:03

問題は省略したりせず正確に書いてください。

「最大の方形角材」とは、角材の何が最大になればよいのですか？
縦か横の「長さ」が最大になればよいのであれば＃１さんのお答えの通り、
縦と横の組み合わせが6cmと8cmになる場合が最大です。

角材の「断面積」あるいは「体積」を最大にしたいのであれば、縦、横
ともに7cmである場合が最大となります。
この長さでも対角線の長さは7√2cmで、10cmより短いですから、この丸太
から十分切り取れます。

縦と横の長さがxcm, ycmである角材が直径10cmの丸太から切り取れるなら、
x, yの満たすべき条件は、

周の長さが２８cmであることより、
　2x+2y=28　　∴　x+y=14
対角線の長さが丸太の直径以下であることより
　√(x^2+y^2)≦10　　∴　x^2+y^2≦100

後は、この範囲で、何が最大になればよいかです。
それがわからないと答えの出しようがありません。

この回答へのお礼

ご回答の方ありがとうございます。これは質問にも書いたとおり、数学の文章問題であり、１字１句そのままを写しましたので省略の方は私の方ではしていません。

お礼日時：2010/10/30 22:54

No.2 回答者： pasocom 回答日時： 2010/10/30 11:27

回答の都合上、長方形の横を2x、横を2y　とします。

質問者様と同じようにして
4x+4y=28
x+y=7　・・・式1
まで、求まります。
その後は下図の通り。
三平方の定理を使って
x^2+y^2=25　　・・・式2
ですね。
式1からy=7-x　を式2のyに代入して、解いて下さい。

この回答へのお礼

ご回答の方ありがとうございます。また大変詳しい解説の方ありがとうございます。おかげで解決いたしました。画像のほうもとてもわかりやすく感謝しています。ありがとうございました。

お礼日時：2010/10/30 22:51