給排水算の公式について

給排水算
・あるタンクに水が一定の割合で流入している。この時、ポンプを設置して排水するとポンプＸ台なら●分、Ｙ台なら▼分でそれぞれタンクが空になる。どの場合も給排水開始前のタンク内の水量が一定だとすると、◆分で空にするには何台のポンプが必要か～
といったような問題を解く公式として、
１（もとの水量）×Ａ（リットル／分）×ｔ（分）＝Ｂ（リットル／分）×ｎ（ポンプ台数）×ｔ（分）
の場合に空になる、と説明されました。
これを覚えておけば問題そのものは解けるのですが・・・根本的なところを理解できていないようで、どうにもしっくりきません。
なぜ「もとの水の量」は実際の量（リットル）ではなく１とおかれるのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： QoooL 回答日時： 2014/05/10 08:56

＃１、２です。

以下回答いたします。

＞　１というのは実際の数字ではなく、例の式では「元々入っていた水の量」を示す記号、ということでしょうか。

その通りです！
広い意味での記号、と思っておいていただいてけっこうです。(1)、(1)、ということですね。
これを比率と呼んでいます。
「何を基準とするか」の、基準の部分です。

例えば１ヶ月の小遣いが６万円の人がいると、
１日に使って良い金額は　１／３０　という目安を出すことができます。
(１)　が　６００００円　なら、
(１／３０)　は　２０００円になります。

６００００円　ｘ　１／３０　＝　　　２０００円
もとの数　　　　　　割合　　　　　比べる数

６００００円　ｘ　　　　１　＝　　６００００円
もとの数　　　　　　割合　　　　　比べる数

６００００円　ｘ　　　　２　＝　１２００００円
もとの数　　　　　　割合　　　　　比べる数

６００００円　ｘ　　１／２　＝　　３００００円
もとの数　　　　　　割合　　　　　比べる数

給排水の問題でも、「比率を使って解かないといけない場合がある」ということなのです。
全体を１とおかなくても良いのですよ、
人によって
全体を２とおいたり
全体を１０とおいたり
比率は自由です、自分で決めるのです、答えは変わりません。
その場合、数字が全体的に　２倍　になったり、１０倍になったりします。

この説明は、混乱しそうならスルーしてください。
人によって何を１とおくかが違うので、同じ問題でも本によって書いてある数字が違う、ということを念の為説明しました。

６００００円　を　「３０」とおく人の場合、
「１」は　２０００円になります。

６００００円　÷　「３０」　＝　２０００円
比べる数　　　　　　割合　　　　　もとの数

２０００円　ｘ　　　「２」　＝　４０００円
もとの数　　　　　　割合　　　　　比べる数

２０００円　ｘ　「１／２」　＝　１０００円
もとの数　　　　　　割合　　　　　比べる数


仕事算でも同じ考え方がもととなっています。それはここでは割愛します。
何でも　○○を１（基準）とすると　と考えるクセを付けてみてください。


＞　例えばＡ（リットル／分）が、「１」の式で解いた時に１／１０５だったとして、これは「１リットル給水するのに１０５分かかる」ではなく「元々入っていた水の量と同じリットル量だけ給水するのに１０５分かかる＝１分間で、元々入っていた水の量の１／１０５にあたる分量の水を入れることができる」ということ、だと理解しました。

「「１」の式」というのは
もとの水量１＋ａ（○／分）×ｔ（分）＝ｂ（○／分）×ｎ（台）×ｔ（分）
のことですね？
考え方合っていますよ！　◎
（解いたとき、という言い回しはおかしいですが（解くというのは　ｔ　を求めるということ）、ａ＝１／１０５　になった　とおっしゃいたいのですね。）


＞　『１＋Ａ（リットル／分）』というのは、『(1)＋Ａ（(1)と同じリットル量／を給水するのに何分間必要か）』ということだろうと……

ここは、日本語の言い回し的にはまだおかしいのですが、理解はしてくださっていると感じます。
『(1)＋ａ（(1)と同じ量を給水するのにかかる分数　分の　１）』
が正しい表現となります。
(1)と同じ量を給水するのにかかる分数　が１５分　の場合、
『(1)＋(１／１５)』
ですね。実際には時間をかけるので、
１＋ａ×ｔ
(1)＋(１／１５)×ｔ
となります。


＞　「１０（リットル／分）＝１分間に１０リットル給水できる」と特定の、具体的な能力を示すと読んではいけなくて、
１０という数字が入るとしてもそれは「１０×(1)（リットル／分）＝１分間で(1)の１０倍の量を給水できる」ということですよね……？

それは考え過ぎです。
「１０（リットル／分）＝１分間に１０リットル給水できる」と具体的な能力を示すと読んで　良い　です。
１０（リットル／分）は　１０（リットル／分）　ですよ。問題で与えられた重要な数字です。そのまま読んでください。

ただ、部分的にリットルで考えていても、他の部分は　比率　で考える問題もあります。その場合は　何を　(1)　とおくか　を考える必要がありますね。


「１０×(1)（リットル／分）＝１分間で(1)の１０倍の量を給水できる」　は、
「１０×(1)（　　　　／分）＝１分間で(1)の量を給水できるペースで、１０分間続けると合計で１０倍の量を給水できる」
という意味に見えてしまいます。
(1)　に　１０　をかける問題は少数派かと思います。
「１０×(１／１０５)（　　　　／分）＝１分間で(１／１０５)の量を給水できるペースで、１０分間続けると、１分の量の１０倍の量を給水できる」
なら、おっしゃっている式のつじつまは合います。

再掲
【リットルで考える式】
もとの水量リットル数＋Ａ（リットル／分）×ｍ（台）×ｔ（分）＝Ｂ（リットル／分）×ｎ（台：ポンプの数）×ｔ（分）

【比率で考える式】
もとの水量１＋ａ（　／分）×ｍ（台）×ｔ（分）＝ｂ（　／分）×ｎ（台）×ｔ（分）

まあ、すごく厳密に、物理の授業みたいに単位に注目すると、
Ｂ（リットル／分）は、正確には　Ｂ（リットル／分・台）ですけどね。
だから、　×ｎ（台）をすると　（リットル／分）に変わり、
（リットル／分）に　×ｔ（分）をすると　（リットル）に変わります。


比率について理解を深めてくださるきっかけになったのなら幸いです。

この回答へのお礼

あらためて回答ありがとうございます。
１００％理解できた……とはまだ言えなさそうですが、先のお礼でも書いたように引っ掛かっていた部分を呑み下すことはできそうに思います。

何度も詳細な解説や例示を戴き助かりました。
少なくとも、給排水算の問題に出くわす度に頭を抱えることはなくなりそうです(^^;)

大変お世話になりました。ありがとうございました。

お礼日時：2014/05/10 15:39

No.2 回答者： QoooL 回答日時： 2014/05/10 00:48

補足説明ありがとうございます（＃１にも空白や。

でけっこうですからダミーのお礼を付けといていただけるとありがたいです）。

やはり、間違いがあったのですね　（＾＾；）
私もよく間違うものです。

手書きに比べて、計算式は特に書き間違いしやすいですよね。
ただ、まだ　勘違い　がありますよ。
それをこれからご説明します。


１＋Ａ（リットル／分：新たに流入する水量）×ｔ（分）＝Ｂ（リットル／分：１台のポンプが排出する水量）×ｎ（台：ポンプの数）×ｔ（分）

は残念ながら正しい式ではありません。
この式の中で　「左辺でなぜ実際の量（リットル）ではなく１とおくのでしょうか？」というのがお聞きになりたいことでしょうね。


答えは、
「体積・容積について、
リットルで解くなら　全てリットル、
１などの比で解くなら、全て比
で表して解く。
だから、１とおいている問題を見かけたとしたら、それはリットルのことは無視する解き方」
となります。


少し具体的に説明しましょう。

問題Ａ
ある容器に、空の状態からＡという種類の蛇口１本で水を入れると１０分で満杯になる。
満杯の状態から、Ｂというポンプ１台で水を抜くと、１５分かかる。
また、満杯の状態から、Ｃというポンプ１台で水を抜くと、２０分かかる。

１）空の状態からＡという種類の蛇口４本で水を入れると何分かかるか。
２）満杯の状態から、Ｂというポンプ１台及びＣというポンプ１台で同時に水を抜くと、何分かかるか。
３）満杯の状態から、Ｂというポンプ２台及びＣというポンプ３台で同時に水を抜くと、何分かかるか。
４）満杯の状態から、Ａという蛇口２本で水を入れながら、Ｂというポンプ４台で水を抜くと、何分かかるか。
（ただし、水位が０になった時点でＡの給水は止めるものとする。）


問題Ｂ
５０ｃｍ　ｘ　８０ｃｍ　ｘ　６０ｃｍ　の容器がある。

５）これに、空の状態から　１０リットル／分　の蛇口（これをＤという種類とする）１本で水を入れると何分で満杯になるか。

ここで、満杯の状態から、Ｅというポンプ１台で水を抜くと、１５分かかる。
また、満杯の状態から、Ｆというポンプ１台で水を抜くと、２０分かかる。

６）満杯の状態から、Ｅというポンプ１台及びＦというポンプ１台で同時に水を抜くと、何分かかるか。
７）満杯の状態から、Ｄという蛇口２本で水を入れながら、Ｅというポンプ４台で水を抜くと、何分かかるか。


――――――――――――――――――――――――――
問題Ａ解説
１）こういう問題では、容器の容積がわからないので　１　とおく。
Ａの能力は　ａ＝　毎分　１／１０

これを４本使うと　毎分　４／１０
　１　÷　（４／１０）　＝　５／２　（＝２．５分）

２）Ｂの能力は　ｂ＝　毎分　１／１５　（給水ではなく排水だが、Ａと同じ表し方ができる。）
Ｃの能力は　ｃ＝　毎分　１／２０

Ｂ１台とＣ１台　同時の能力は　ｂ＋ｃ＝　毎分　７／６０
　１　÷　（７／６０）　＝　６０／７　（＝約８．６分）

３）Ｂ２台とＣ３台　同時の能力は　２ｂ＋３ｃ＝　毎分　１７／６０
（小学生の場合は２ｂ＋３ｃの部分は無視してください。６０で通分すれば導けると思います。）
　１　÷　（１７／６０）　＝　６０／１７　（＝約３．５分）

４）１＋（１／１０）ｘ２ｘｔ　＝　（１／１５）ｘ４ｘｔ
これより、（（４／１５）－（２／１０））ｘｔ　＝１
ｔ＝１５

――――――――――――――――――――――――――
問題Ｂ解説
５）５０　ｘ　８０　ｘ　６０　＝　２４００００　ｃｍ^3　（３乗）（＝２４０　Ｌ）
　１０　Ｌ／分　＝　１００００　ｃｍ^3
　２４００００　÷　１００００　＝　２４分

６）Ｅの能力　ｅ＝　２４００００　÷　１５　＝　１６０００　ｃｍ^3　／分　（＝１６　Ｌ／分）
　Ｆの能力　ｆ＝　２４００００　÷　２０　＝　１２０００　ｃｍ^3　／分　（＝１２　Ｌ／分）

　２４００００　÷　（１６０００　ｘ　１　＋１２０００　ｘ　１）　＝　６０／７　分　（＝約８．６）

または
　２４０　÷　（１６　ｘ　１　＋１２　ｘ　１）　＝　６０／７　分

７）満杯の状態から、Ｄという蛇口２本で水を入れながら、Ｅというポンプ４台で水を抜くと、何分かかるか。

　２４００００　＋　１００００　ｘ　２　ｘｔ　＝　１６０００　ｘ　４　ｘｔ
よって
（１６０００　ｘ　４　－　１００００　ｘ　２）ｘｔ　＝　２４００００
ｔ＝　６０／１１　（＝約５．５）

または
　２４０　＋　１０　ｘ　２　ｘｔ　＝　１６　ｘ　４　ｘｔ
（１６　ｘ　４　－　１０　ｘ　２）ｘｔ　＝　２４０
ｔ＝　６０／１１

――――――――――――――――――――――――――
ご質問に対する解説
問題Ｂの方で、
　２４００００　＋　１００００　ｘ　２　ｘｔ　＝　１６０００　ｘ　４　ｘｔ
の
２４００００　の部分を　１　とすると、
　１　＋　１００００　ｘ　２　ｘｔ　＝　１６０００　ｘ　４　ｘｔ
という式になってしまいます。
すると
　（１６０００　ｘ　４　－　１００００　ｘ　２）ｘｔ　＝　１
という変形になりますね。
ｔは　ものすごく小さな値になってしまいますし、そもそも　１　の単位が不明です。
理解していただきやすくするため、２４０　よりも、２４００００　の方を用いたのです。

この原因は正に、「リットルと比率（１）を混在」させてしまったせいなのです。
私が人に教える時は、こうした混同が起きないように、

「比率の数字は　○や□などの枠で囲む」

ということを推奨しています。
(1)(2)や、□１　□２　（パソコンで書けないので、想像してください）ということです。

(1)　＋　１５（Ｌ）はおかしな計算式です。

便宜的に　(1)　＝　１５（Ｌ）という式を立てることはありますよ。そのときは　(2)＝　３０（Ｌ）となります。
これは、Ｘ＝　１５、　２Ｘ＝３０　と解いているのと同じなのです。

しかし、Ｘ＋１５　と式を立てる時には、１５　がリットルなら、Ｘもリットルでないとおかしいのです。これはある意味、１８０ｃｍ　＋　７０ｋｇ　＝　２５０　という計算式がおかしいのに似ています。
同様に、(1)と□１は　足し算できないので気を付けてください。○と□は別のものを基準にしているので、足せないのです。


以上、
問題Ａと問題Ｂを並べてみて、「１とおく問題」と「１とおかない問題」の違いを感じ取っていただけたら幸いです。
たまに両方をミックスさせた問題も出ます。その時は
　(1)　＝　１５（Ｌ）　のような置き換えの式
が必要になり、○で行くかリットルで行くか方針を決める必要があります。
ここでは、説明がややこしくなるので、ミックス問題は割愛しました。


もう２時間くらい書いているのですが、日付をまたいでしまってすみませんでした。
「公式」をよく見直してみてください、きっと、何か別の問題とミックスしているような小さな間違いがあるはずです（そもそも、正式な公式ではありませんが。誰か教師が独自に作ったのでしょう）。

修正版
もとの水量リットル数＋Ａ（リットル／分：新たに流入する水量）×ｔ（分）＝Ｂ（リットル／分：１台のポンプが排出する水量）×ｎ（台：ポンプの数）×ｔ（分）

及び、
もとの水量１＋ａ（○／分）×ｔ（分）＝ｂ（○／分）×ｎ（台）×ｔ（分）

下が、○（比率）で解く場合の「公式」改良版ですね。単位らしい単位はありません。１／１５　の例を思い出してみてください。


お役に立てれば幸いです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。丁寧な解説痛み入ります。

まず、Ａ（リットル／分）を「新たに流入する水量」と書いたのがまだ勘違いでした。
きちんとテキストを見れば「給水能力」と書いてありました。これを「水が入って来る量」と思い違いしていたので理解がしづらかったのかと……ただ、そこを勘違いしていなくてもご説明いただかないままではまだまだ理解できずにいたと思います；

１というのは実際の数字ではなく、例の式では「元々入っていた水の量」を示す記号、ということでしょうか。
与えられていた問題を、「１」の部分を「(1)」に換えた式で解いてみたところ、同じ答えが出ました。

例えばＡ（リットル／分）が、「１」の式で解いた時に１／１０５だったとして、これは「１リットル給水するのに１０５分かかる」ではなく「元々入っていた水の量と同じリットル量だけ給水するのに１０５分かかる＝１分間で、元々入っていた水の量の１／１０５にあたる分量の水を入れることができる」ということ、だと理解しました。
（１リットル給水するのに１０５分かかるのは、元々入っていた水の量が１リットルだった場合）
『１＋Ａ（リットル／分）』というのは、『(1)＋Ａ（(1)と同じリットル量／を給水するのに何分間必要か）』ということだろうと……
「１０（リットル／分）＝１分間に１０リットル給水できる」と特定の、具体的な能力を示すと読んではいけなくて、
１０という数字が入るとしてもそれは「１０×(1)（リットル／分）＝１分間で(1)の１０倍の量を給水できる」ということですよね……？
（(1)に具体的なリットル数などをあてはめない限りは、１０Ａだとか１０xと同じというか）

この理解が完全か、正直自信はありませんが、ひっかかっていた部分は呑みこめたように思います。
もしよろしければ理解があっているかどうかもう一度お返事をいただきたいところなのですが……

ともあれ、ひとまずお礼申し上げます。
かなりお時間を使わせてしまったようで申し訳ありませんでした。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/05/10 03:13

No.1 回答者： QoooL 回答日時： 2014/05/09 22:04

給排水算は何度も教えたことがあります（小学生＆社会人）。

どうも、おっしゃることの中に、勘違いがあるような気がしてなりません。

もとの水量を１　とおくのは、よくやることです。その水槽（お風呂やプール）の体積がわからない場合ですね。
Ｂタイプのポンプを使った場合に　１５分で一杯にできるなら、
Ｂの能力は　ｂ＝１／１５　となります。
この場合、単位は　リットル／分　ではなく、比　ですね。


書いていらっしゃった
１×Ａ（リットル／分）×ｔ（分）＝Ｂ（リットル／分）×ｎ（ポンプ台数）×ｔ（分）
の左端の　１　は、
もとの水量ではなく　「流入する方の蛇口の数」　ではないですか？
Ａ　が何の量を表しているのか（流入なのか、排水なのか）がはっきりわからなかったので、
「○○をＡとおくと」
というのを付け足していただくと助かります。
しかし、式の中で左辺も右辺も　ｘｔ（分）　で統一しているところから推察すると、

左辺は流入量
右辺は流出量（排水量）

と解釈せざるを得ませんでした。

おっしゃっている「もとの水量」というのは「水槽の容積」で合っていますよね？
左辺にだけをこれを掛け算することは、等式がおかしくなると思われます。
それが１だろうと　１０００Ｌ　だろうと、片方にだけ掛け算をすると、等式で結べません。
失礼ですが「１について勘違いがあるのではないか」という点について補足説明していただけませんか？


あるいは、具体的な問題を挙げていただいたら、なぜ「説明者」（本？）が１とおいたのか、その意図を説明して差し上げます。

後程また覗いてみます。

この回答への補足

ああっ！　すみません、公式を書き間違えてました；

１＋Ａ（リットル／分：新たに流入する水量）×ｔ（分）＝Ｂ（リットル／分：１台のポンプが排出する水量）×ｎ（台：ポンプの数）×ｔ（分）

が正しい式です。
手書きと打ち込みの勝手の違いよ……お恥ずかしい；

補足日時：2014/05/09 23:05

この回答へのお礼

まずこちらへのお礼。

お礼日時：2014/05/10 02:13