底に穴の空いたタンクの水位

考え方を教えてほしいです。

【19】 底に穴の空いたタンクに一定流量で水を流入した場合に変化する水位を計算し、時刻をx軸, 水位をy軸にとってグラフ表示せよ. ただし, タンクの穴から流出する水の量は水位に比例するものとする.

特に具体的な数字は与えられていません。よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 

  水位はずっと変わらないってことでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/19 11:06

• 特にタンクの形状も与えられていないので、柱体ということでよいとおもいます。
  微分方程式はdV/dt=U-kyとして解けばよいのでしょうか？
  解いた結果がNo.3の式のようになるのでしょうか？

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/19 11:52

No.8 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2023/05/19 13:43

#5です。

補足の内容でOK。解いた結果は#3の形になります。(t→x,x→y)
#3の方が書いた通り、微分方程式を作るまでもなく解は予測できる、というくらいよくある問題です。

#3で書かれたCはUとkyが均衡する値、つまり
U=kC→C=U/k
となります。

グラフはy=U/kに漸近する曲線になります。
(初期条件でy>U/kの場合は減少していき、y=U/kに漸近する)

No.9 回答者： kairou 回答日時： 2023/05/19 14:44

NO2 です。

単位時間当たりの 注水量と排水量との関係で
グラフの概形が 変わると思います。
・注水量に対して 排水量が 充分少なければ、
満水になる前に 水位は 下がることが無く 増える速度が遅くなります。
つまり y=√x に近い 曲線になるのでは。
・排水量が ある程度の量ならば、水位が上がれば
排水量も増え 水位が下がります。
水位が下がれば 排水量も減りますから 水位が上がります。
つまり y=sinθ に近い形の 波型グラフになるのでは。

No.7 回答者： mukaiyamo 回答日時： 2023/05/19 12:58

欲しい答えが中学校レベルか高校レベル、大学レベルかお書きでありませんが、考え方としてはこれでいいんじゃない？

赤線：穴が開いていない場合の注水による水位変化
緑線：穴が開いて、注水がない場合の水位変化
青線：穴が開いて、注水がある場合の水位変化

それに、ある時間で水位が 0 になって、以後サイクル曲線を描くかどうかは、設問から判断できません。
穴からの吐出量が注水量より少なければ、水位が 0 になることはありませんのでね。

No.6 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/05/19 12:31

no.4　続き

初期状態で、流入量と流出量が異なれば、上図。
サインカーブ

同じなら下図で水位一定。

No.5 回答者： rnakamra 回答日時： 2023/05/19 11:40

タンクの形状は直方体とか円筒のような柱体(底面に平行な断面積が高さに寄らず一定)ということでよいでしょうか?

少なくともこの情報がない限り答えようがない。

タンクが断面積が一定の柱体としその断面積を、単位時間当たりの流入量をUとします。
単位時間当たりの流出量はyに比例するからkyとします。
x=0の時y=0と初期条件を決め、あとは方程式をたてて解くだけ。

タンク内の水量Vは
V=Sy
となります。
Vの時間微分が水量の時間変化、つまり流入量から流出量を引いたものであることが理解できれば微分方程式ができますのでそれを解くだけです。

No.4 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/05/19 11:37

水位が高くなれば、流出量が増加して水位が下がる。

水位が低くなれば、流出量が減少して水位が上がる。

これを小刻みに繰り返して、一定の水位を保とうとする。
エアコンで温度一定運転と同じなのでは？

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/05/19 11:32

直感で、初期水位=x0なら

C - (C-x0)e^(-t/T))
C: 充分時間が立ったときの水位
T: 適当な時定数

という格好になると思う。

形と見るだけなら微分方程式組むまでも無いけど

タンクは角柱とか円柱とか
柱状のものとして

水位=x
時間あたりの流出量=L
時間当たりの流入量=P(一定とする)
タンクの断面積=S
L=Kx

とすると, 微分方程式
dx/dt=P/S-L/S=P/S-Kx/S
となるが、x(0)=x0
なら上の形の式が出てくる筈。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2023/05/19 11:21

具体的な数字が与えられていなくても、

グラフを書くなら 適当な数字を 想定しないと 書けないのでは。
「タンクの穴から流出する水の量は水位に比例するものとする」ならば、
グラフは 直線には成らないのでは。

No.1 回答者： すんすんにゃ 回答日時： 2023/05/19 10:45

↑

水位h │
　　　 │
　　　 │━━━━━━
　　　 │
　　　 │
ーーーーーーーーーーー→
　　　 │　　時間t
　　　 │
　　　 │

具体的な数字が与えられてない
ので計算もクソもないですが、
グラフの形はこんな感じですね。