穴の開いた空のタンクへ水を入れた時の水位高さ

底面に穴の開いた空のタンクへ水を入れた時、水位高さがどうなるか教えて下さい。
(1)底面積120cm2、高さ2.5cmの空のタンク（容積300cm3つまり0.3L）
(2)このタンク底面に直径6mmの穴が開いている（断面積0.283cm2）
(3)このタンクに流量1L/minで上から水を入れる。
(4)環境は全て大気圧、損失等は無視する。

とした場合、タンクの水位は何cmの時に一定になるのでしょうか？また、水の入れ始めからの
経過時間は何sec後に一定になるのでしょうか？

各書籍を確認したところ、
十分な大きさのタンクに最初からある程度水が入っている場合なら（各単位を換算して）、
Q=Avより　v=0.001/（60×π/4×0.006＾2）＝0.589m/s
v=√（2gH）より　H=（0.589^2）/（2g）＝0.0177m＝1.77cm　で水位が一定となる

と計算できました（水位一定になるまでの時間は不明）。

今回は最初から水のない場合なのですが、調べても参考となるものがなかったもので…

御教授よろしくお願いいたします。

No.5 ベストアンサー 回答者： yokkun831 回答日時： 2013/02/28 19:00

やはり文字による方程式の意味がわからないと，理解は難しいと思います。

定常水位では，注水量と排水量が等しいので
Q = Av
v = √(2gH)
これはご紹介の通りです。

定常水位に達する前は，水位をyとおくと単位時間当たり
Q - Av
　　ただし，v = √(2gy)
ずつ体積が増加していくことになります。

微分 dV/dt は体積Vが増加していく速さ（時間変化率）を表します。つまり，単位時間当たりの体積変化です。したがって，
dV/dt = Q - Av
が成立することになるのです。

たとえば，注水の初めには v = √(2gy) = 0 ですから
dV/dt = Q - Av = Q = 1 [L/min] = 16.7[cm^3/s]
水位が上がる速さで 16.7/120 = 0.139 [cm/s]

水位が y = 1.5 [cm] = 0.015 [m] のとき，
v = √(2gy) = √(2×9.8×0.015) = 0.542 [m/s]
なので，
dV/dt = Q - Av
= 0.000016.7 - 0.0000283×0.542 = 0.00000136 [m^3/s]
= 1.36 [cm^3/s]
水位が上がる速さで 1.36/120 = 0.0113 [cm/s]

初め１秒間に1.4mmほど水位が上昇するのに対して，後者は0.1mmほどしか上昇しなくなります。この調子で水位が定常水位に近づくにつれて水位が上がる速さがゼロに近づくために，理屈上は定常水位に達するのに無限大の時間が必要になるのです。

つまり，定常水位の99％に達する時間は計算できても，定常水位に達する時間は計算できないということになります。

この回答へのお礼

色々調査し、なんとか理解できました。
有難うございました。

お礼日時：2013/03/07 17:05

No.4 回答者： yokkun831 回答日時： 2013/02/27 18:46

排水抵抗はないものとします。

給水量：Q = 1L/min = 10^-3/60 m^3/s
排水口半径：r = 3mm = 3×10^-3 m
排水口面積：A = πr^2
タンク底面積：S = 120cm^2 = 120×10^-4 m^2

時間 t の後の水位を y(t)，体積を V(t) = Sy(t) とすると

dV/dt = Q - A√(2gy)

水位が一定の定常状態では，dV/dt = S dy/dt = 0 ですから
定常水位を y_t とおくと，
0 = Q - A√(2gy_t)
∴y_t = Q^2/(2gA^2) = 0.0177 [m] = 1.77 [cm]

V = Sy を考慮すると上の微分方程式は
S/{ A√(2g) } dy/dt = √y_t - √y
となります。

y が連続的に y_t に近づくと，水位変化率 dy/dt は連続的に 0 に近づきます。
したがって，水位がy_t になるためには，理論上無限大の時間が必要だと思います。
実際，上の微分方程式を解こうとすると，原始関数t(y)は求まるものの
y=0からy=y_tまでの定積分は無限大に発散します。

下記が参考になるかもしれません。
http://csspcat8.ses.usp.ac.jp/ses/kyouin/shakei/ …

この回答への補足

yokkun831様
御教授有難うございます。
すみません、当方全くど素人で簡単な微積分すらままなりません。できましたら、具体的数値を書いて教えていただければありがたいのですが（やってみましたが、やはりできませんでした）。
教えていただいたにも関わらず不躾なお願いですみません。

補足日時：2013/02/28 17:17

No.3 回答者： masics 回答日時： 2013/02/27 17:15

タンクの底面積をS，タンクの底の穴をSoとする．

水面の高さxのときの穴から出ていく流体の速度をvとするとベルヌーイの定理より
ρgx=1/2 ρv^2
つまり
v=√（2gx）
とわかる．任意の高さでの流速がわかったので次に体積の時間変化について考えます．ある時刻でのタンクの中の体積をQ(t)とすると，
dQ(t)/dt=Qo-So=√（2gx）
であり，Q(t)=xSより
dQ(t)/dt=Qo-So=√（2gQ(t)/S）
となります．これは変数分離型の微分方程式なので一般解がわかり，ほしい量はすべてわかります．

この回答への補足

masics様
御教授有難うございます。
上記回答にも補足で書きましたが、当方全くど素人で簡単な微積分すらままなりません。できましたら、具体的数値を書いて教えていただければありがたいのですが（教えていただいた内容で計算やってみましたが、やはりできませんでした）。
教えていただいたにも関わらず不躾なお願いですみません。

補足日時：2013/02/28 17:18

この回答へのお礼

色々調査し、なんとか理解できました。
有難うございました。

お礼日時：2013/03/07 17:05

No.2 回答者： cozycube1 回答日時： 2013/02/27 16:14

　補足、承りました。

#1です。

>安定水位になるまでの時間の計算方法があれば御教授いただきたいのですが。

　1次遅れ系の微分方程式になりますが、このモデルはシンプルなようで、かなり面倒くさかった気がします。よく覚えていません。すみません。

「1次遅れ系 微分方程式 タンク」などで検索すると、条件を含めた解法が探せるはずですので、お試しください。

No.1 回答者： cozycube1 回答日時： 2013/02/27 13:18

　1.77cmについて検算はしていませんが、タンクの最初の水位は、最終的に安定する水位とは無関係です。

　安定水位より、初期の水位が高ければ安定時より流出が多くなり、水位は下がって行きます。初期の水位が低い（0を含む）なら安定時より流出が少なくなり、水位は上がって行きます。これは、タンク底にかかる水圧を考えれば、穴から出て行く水量の増減で分かると思います。

　結局、最初のタンク水位に関係なく、安定する水位は決まります。

この回答への補足

cozycube1様
早速の御回答ありがとうございます。水位の高低と水頭圧の関係から、結局は水位がある所で安定すると考えればよいという事でしょうか。
あと、安定水位になるまでの時間の計算方法があれば御教授いただきたいのですが。

補足日時：2013/02/27 13:32