sigma(k=1～∞) ( k・2^(-k) ) の計算

sigma(k=1～∞) ( k・2^(-k) )
の計算方法を教えてください。

sigmaのkの動く範囲が1～∞で、
その範囲で( k・2^(-k) )を足し合わせるという式です。
-k乗は2だけにかかっています。

No.2 ベストアンサー 回答者： age_momo 回答日時： 2006/08/17 11:56

与式は書き方を変えれば

Σ[k=1→∞]k(1/2)^k

この形は幾何分布の期待値計算にもよく出てきます。例えば表が出るまでコインを
投げ続けるとして、コインを投げる回数の期待値とかはこの計算になりますね。
また大学受験問題でもよく見ますね。


S=Σ[k=1→n]kr^k

とする。

S=r+2r^2+3r^3+4r^4・・・・・+nr^n　　------(1)
rS=r^2+2r^3+3r^4+4r^5・・・・・+nr^(n+1)　　-----(2)

(1)-(2)

(1-r)S=r+r^2+r^3+・・・・+r^n-nr^(n+1)
=r(1-r^n)/(1-r)-nr^(n+1)　　∵等比級数の和の公式

S=・・・・・

計算してみてください。|r|<1の時、無限級数は収束して値を計算する事が
できます。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2006/08/18 15:04

母関数を使うと簡単です。

f(x) = Σ(k=1～∞) (x^k)
を項別にxで微分すると、
f'(x) = Σ(k=1～∞) (k(x^(k-1))
なので
S=(1/2)f'(1/2)
としてみると
S= Σ(k=1～∞) (k(2^(-k))
となる。これがご質問の式です。

一方、f(x) は等比級数なんで、0＜x＜1のとき
f(x)=x/(1-x)
と分かってますから、
f'(x)は簡単に計算でき、S=(1/2)f'(1/2)も計算できます。

No.1 回答者： iwaiwaiwa 回答日時： 2006/08/17 05:14

第n項までの和をS_{n}として

S_{n}と1/2*S_{n}を上下に並べて書いてみて、
引き算してみてください。
1/2*S_{n}は右に一つずらして書いてみてください。

高校の数学で習った問題ですよ（多分）。