抜き打ちテストのパラドックス

ある先生は、学生に抜き打ちテストを行うために、次のことを公言した。

１　来週の月曜日から金曜日のうち、いずれかの日にテストを行う。
２　どの日にテストが行われるかは、当日にしかわからない。

これを見た学生は次のように推論した。
まず、金曜日にテストはない。なぜなら月曜日から木曜日までテストがなければ金曜日にテストがあることは当日にならずとも木曜の時点で分かってしまう。これは２に反する。
となると木曜日にもテストはない。月曜日から水曜日までにテストがなければ金曜日にはテストが出来ないので自ずと木曜にテストがあることが水曜の時点で分かってしまうからである。
同様に考えていくと月・火・水曜日も無理である。
よってこの抜き打ちテストは不可能だ！

そして抜き打ちテストが発表された一週間がはじまった。
学生の予想通り木曜までテストはなかった。しかし金曜日になって先生が「では今からテストを行う。」と宣言したのである。
すかさず学生が反論した。
「テストは不可能です。昨日までテストがなかった時点で今日テストがあることは自明です。このことは先生が発表した２に反します。」

すると先生はこう言ったのである「君は今日テストが行われないと思っていた。ならば抜き打ちテストは成立しているじゃないか！」

この抜き打ちテストは正しいのでしょうか？

学生が言っている事は正しいのでしょうか？

先生は正直者なのでしょうか？

No.7 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2006/08/22 16:57

結構難しい話なので、No.6よりもうちっと丁寧な回答をしてみます。

話は、命題Aを学生が聞いたところからです。

A: 本日テストを行うが、本日テストがあることを学生は知らない。

を学生が聞いたら、
(a)学生がAを信じない場合、
これは（Aの否定を信じるということではなく）Aを聞かなかったのと同じということであって、
(a-1) 本日テストがあるともないとも、学生は信じていないし知らない。しかも、
(a-2) 本日テストがあることを学生が知っているとも知らないとも、学生は信じていないし知らない。
ということしか出てきません。ですから、結局

(a') 本日テストがあるかどうか、学生は知らない。

のであり、従って、もし本日テストがあれば、Aは真である。つまり

(a*) 学生がAを信じていないならば、(もし本日テストがあれば、Aは真である)

(b)学生がAを信じる場合、
もしAが真であれば
(b-1) 本日テストがある。しかも
(b-2) 本日テストがあることを学生は知らない。しかも
(b-3) （本日テストがある）ということを学生は知っている。しかも
(b-4) （本日テストがあることを学生は知らない）ということを学生は知っている。

が出てきますが、(b-2)(b-3)が矛盾している。つまり「もしAが真であれば」という仮定が誤りであって、（本日テストをやろうとやるまいと）Aは偽である。だから

(b*) 学生はAを信じるならば、Aは偽である。

　さて、これに加えてさらに「（Aは偽である）ということを学生が知っている」と言えるかどうかは、厳密に言えば論理の体系に依存します。ここでは、そう言える体系を採用してみましょう。つまり、学生はとても頭がいいということにして、「xが恒真式ならば（論理的に推論できることであるならばなんでも）、学生はxを知っている」という条件を付ける訳です。
　すると、「学生がAを信じるならば、（学生がAを信じるならば、Aは偽である）ということを学生は知っている」ことになり、すなわち「学生がAを信じるならば、（Aは偽であるということを学生は知っている）」わけで、まとめると

(b**) 学生がAを信じるならば、（Aは偽であり、しかも、（Aは偽である）ということを学生は知っている）

となります。さて、この学生の態度が＜矛盾＞であるかどうかもまた、論理の体系に依存します。（元々論理は人の思考を形式化したものに他ならず、従って、一見不合理な信念を許容する（i.e., そういう信念を記述できる）論理もあって良いわけです。様相論理は特にそういう側面が重要です。）

　とは言っても、「(a*)の方は、もし…の条件付きだから許すが、(b**)は不合理であり許容し難い！」という意見があったとすると、こりゃなかなか説得力がある。だからここではそういう合理主義者の論理に従うことにしましょう。つまり「偽であると知っていることは信じないし、真であると知っている事は信じる」という条件を入れる訳です。すると、

「ゆえに(b**)は矛盾である。従って(b)の仮定は誤りであり、(a)でなくてはならない。」ということになり、だから、

(a**) 学生はAを信じていなくて、しかも(もし本日テストがあれば、Aは真)である。

ところで、「恒真式ならば、知っている」のでしたから、

(a***) 学生はAを信じていなくて、学生は(もし本日テストがあれば、Aは真）であることを知っている。

しかしこの事から、「だから本日テストがない」とは結論できません。そうじゃなくてですね、「知っていることならば信じている」んですから、

（Aは偽であり、しかも（(もし本日テストがあれば、Aは真）であることを学生は知っている））と学生は信じている。

従って、

（（Aは偽であり、しかも(もし本日テストがあれば、Aは真）であることを学生は知っている））と学生は信じている。

のであり、結局、

(a****) （（本日テストがない）と学生は知っている）と学生は信じている。

んです。

　つまり、学生自身が「本日テストはありません！本日テストがないことを私（＝学生）は知っています！」と主張するのは当然である。なぜならこの発言は本人の信念を述べている。しかし確かな事実を述べている訳ではなくて「「本日テストはなく、本日テストがないことを学生は知っている」と学生は信じている」ということしか意味していないのです。
（逆に言うと、もし「本日テストはありません！本日テストがないことを学生は知っています！」が事実であるのなら、先生も同じことを言える筈ですが、そんな訳にはいかないですよね。）

という訳で、Aと(a****)とは矛盾していません。そこでテストをやればAと(a****)は共に真になります。つまり、

（（本日テストがない）と学生は知っている）と学生は信じていて、しかも（本日テストがある）

これは単に「学生の信念は誤りである」ということであって、矛盾ではありません。

以上をまとめると、「学生がAを信じないときに限って、Aは真になる」わけです。

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2006/08/21 15:20

> すると先生はこう言ったのである「君は今日テストが行われないと思っていた。

ならば抜き打ちテストは成立しているじゃないか！」

まずはこの続きを見てみましょう。

別の学生：「はい。先生がそうおっしゃることは当然予想していたので、今日テストが行われることを私は知っていました。」

先生「ということは、２に反していることになる。テストは中止だ。」

また別の学生：「はい。先生がそうおっしゃることは当然予想していたので、今日テストが行われないと私は知っていました。」

先生「ということは、１に反していることになる。やっぱりテストをやる。」

またまた別の学生：「はい。先生がそうおっしゃることは当然予想していたので、今日テストが行われることを私は知っていました。」

先生「ということは、２に反していることに…
　：
　：


　これは様相論理の有名な問題で、おおざっぱに言うと「学生が先生の言ったこと１、２（あるいはA)を信じないときに限って、１、２（あるいはA)は真になる」んです。（この手の様相論理に関しては、レイモンド・スマリヤンの著書が最も面白く、しかも厳密であると思います。）

　まず、１、２の命題は同時に充足可能です。単に学生には内緒にしておいて、好きな曜日（金曜でなくても構わない）にテストをすれば良いからです。つまり１、２が最初から矛盾しているという訳ではありません。
ということは、１、２を学生が知ったという事実によって、初めてご質問のヤヤコシイ状況が生まれた訳です。
　さて、金曜日になると１、２はもっと単純化できます。

A: 本日テストを行うが、本日テストがあることを学生は知らない。

(a) もし学生がこれを信じるなら、Aは偽（つまり矛盾）です。この場合、学生はAが偽であることを知っていて、しかもAを信じていることになります。

(b) もし学生がこれを信じないとすると、Aは真になります。この場合、学生はAが真であることを知っているのにAを信じないわけです。

　奇妙なようですけれど、どちらも学生の態度に矛盾はありません。つまり、学生はどちらか一方の態度を取ることが可能です。そして、学生が(b)の態度を取った場合に、「先生の言った事Aは事実だった」ことになるわけです。

　しかし、「Aである」「Aを知っている」「Aを信じている」を区別して扱わない限り、「学生は矛盾している（ゆえに、Aを聞いた学生が存在しないか、Aを言う先生が存在しないかのどちらかである）」という結論に陥ることになります。ところで、

B: これから君にプレゼントするこの箱には、ダイヤの指輪が入っている。でも、箱を開けてみるまで、何が入っているか君には予想できないよ。

というシャレたバリエーションもあります。本当にダイヤの指輪が入った箱をプレゼントすると、これを受け取ったおっさん（おねえちゃんだと思った？）は、箱をあけたときに予想できなかったものを見いだすでしょうか。


　：
　：
最後の学生：「はい。先生がそうおっしゃることは当然予想していたので、今日テストが行われないことを私は知っていました。」

先生：「なるほどよく分かった。じゃ諸君、今やった口頭試問を採点する間、しばらく待っていてくれたまえ。」

No.5 回答者： t932 回答日時： 2006/08/20 13:15

野崎 昭弘先生が中公新書のなかでこの問題を取り上げて、詳しく解説しています。

手元に無いので申し訳ありませんが、「逆説論理学」か「詭弁論理学」のどっちかです。自己言及があるのでこういうおかしな問題が生じるといった結論でした。

No.4 回答者： Ama430 回答日時： 2006/08/19 10:13

【考え方１】

木曜の時点で、先生の出した１と２は矛盾します。

つまり、「１かつ２」が否定されます。
「１かつ２」の否定は「１でない、または、２でない」(数学の「または」は両方とも成り立つ場合を含む)ですから、
「テストを行わない」または「実施日がわかる」
となり、学生が「テストを行わない」と決めつけた時点で学生が間違っていると言えるでしょう。

【考え方２】
試験日の幅を予告した時点で「抜き打ち」ではないということです。
ですから、「公言した通りに実行する」を「正直者」と言うなら、正直者ではないということです。

No.3 回答者： whitedingo 回答日時： 2006/08/18 18:37

このようなことを質問をすることはナンセンスですよ。

ただ、人の揚げ足を取っている、もしくは、ただの屁理屈です。
まじめに、回答すれば、先生は正しい。
木曜までにテストがない場合、金曜にテストがあることは明白である。したがって、常識の範囲でわかるもの、要は明白である以上わざわざ言う必要はないわけです。それに、このことををいわなくても、テストに悪影響を及ぼすわけではない。これは、暗黙の了解みたいなものなのです。
まあ、例外としていわなければいけないものは、不正行為などの説明です。これらは、もちろん受験者はわかっていることなのですが、このことに注意を喚起するためにいうわけです。
よって、先生はいわなかったのです。

No.2 回答者： Willyt 回答日時： 2006/08/18 15:19

　これは先生が正しいでしょう。

木曜の夜中の１２時にならないとテストがあるかないか分からない、つまり金曜日にならないと分からないから授業でやらなかったからテストがないと推論するのは早計だったというわけでしょう(^_-)　先生はテストを授業中にやるとは一言も言っていないのです(-_-)/~~~~　

この回答への補足

うまく伝わらなかったようですので、改めて書き直しました。
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ある先生は、学生に抜き打ちテストを行うために、次のことを公言した。

「来週の月曜日から金曜日のうち、いずれかの日に抜き打ちテストを行う。 （抜き打ちテストだから、テスト行われる日は事前には予測できない。）」

これを聞いた学生は次のように推論した。

まず、金曜日に抜き打ちテストがあると仮定する。 すると、月曜日から木曜日まで抜き打ちテストがないことになる。 そして、金曜の朝の時点で、今日が抜き打ちテストの日だと予測できてしまう。 これは、抜き打ちテストであるということに矛盾する。 よって、金曜日には抜き打ちテストがないことが分かる。

次に、木曜日に抜き打ちテストがあると仮定する。 すると、月曜日から水曜日まで抜き打ちテストがないことになる。 そして、木曜の朝の時点で、木曜日か金曜日に抜き打ちテストがあることになるが、金曜日には抜き打ちテストがないことが分かっているので、今日が抜き打ちテストの日だと予測できてしまう。 これは、抜き打ちテストであるということに矛盾する。 よって、木曜日には抜き打ちテストがないことが分かる。

同様に考えていくと、水曜日、火曜日、月曜日にも抜き打ちテストがないことが分かる。 したがって、先生は抜き打ちテストを行うことができない。


そして抜き打ちテストが発表された一週間がはじまった。

学生の予想通り木曜まで抜き打ちテストはなかった。 しかし、金曜日になって先生が「では今から抜き打ちテストを行う。」と宣言したのである。 すかさず学生が反論した。 「抜き打ちテストは不可能です。昨日まで抜き打ちテストがなかった時点で、今日テストがあることは予測されます。このことは先生が公言した抜き打ちテストであることに反します。」

すると先生はこう言ったのである。 「君は今日抜き打ちテストが行われないと思っていた。ならば抜き打ちテストは成立しているじゃないか！」

学生は「？？？。」

補足日時：2006/08/18 17:30

No.1 回答者： noname#20925 回答日時： 2006/08/18 11:02

たぶん学校の課題かなんかだと思うけど。

「抜き打ちテストのパラドックス」で検索してごらん。
回答が見つかるから。

http://www.google.co.jp/