「三角形の内角の和が180度」の証明

「三角形の内角の和が180度」と習いましたが、
その証明は習いませんでした。
どうやって証明するのでしょうか？
三角形の種類は無限大にあります。
証明は難しいそうですが、案外サクッといくものなのでしょうか？

よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2006/10/22 21:45

(1)錯角は等しい

(2)ある直線と平行で，直線外のある一点を通る直線はただ一つだけある

この二つを仮定します．

三角形に対して，どこか一辺に平行で
その辺にない頂点を通る直線を引きます．
三角形の内角を「錯角が等しい」の性質で
一直線上に並べることができます．
すなわち「和は180度」です．

No.5 回答者： Ishiwara 回答日時： 2006/10/25 23:29

すでに適切な説明がなされているので、私の発言は蛇足です。

No.3の(2)は、ユークリッド（エウクレイデス？）の第７公理ですよね。これを前提にしないと、１８０度だという証明ができません。
現に、私たちの住んでいる宇宙では、１８０度にならない、ということが８０年以上前の観測で確認されました。これを予言したのはアインシュタインの一般相対性理論です。ですから、現実世界から見ると、１８０度になるというのは「近似的に正しい」か、または「頭の中に描いた数学の世界でのみ正しい」か、どちらかです。

No.4 回答者： usatan2 回答日時： 2006/10/23 00:40

三角形の辺に沿って車を運転することを想像ください。

１周するためには3つの角で方向ハンドルをきって方向転換しますよね。
外角（方向転換する角度）の和は？　どんな3角形でも３６０度です。
それぞれの角での外角は？　「180度ー内角」　ですよね。

3つの角があるので、それぞれ足すと、
　180度＊３　－　内角の和　＝　360度
　したがって、内角の和　=　180度

これって、3角形でなくてもどんな多角形でも応用できますよ。

No.2 回答者： himajin100000 回答日時： 2006/10/22 21:44

三角形ABCがあるとして

辺BCに平行で点Aを通る直線を引きます
辺BA,辺CAをAの方向に延長すると
同位角、対頂角が等しいことから証明できます

http://www2.edu.ipa.go.jp/gz/e1math/e1hego/e1heg …

No.1 回答者： noname#24129 回答日時： 2006/10/22 21:39

紙に三角形を描いて切り取ります。

三つの角がばらばらになるように切り分けます。
三つの角を直線にそって並べます。
これで直感的に三角形の三つの角の和が１８０°であることが分かります。