A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
(1)→(2) は対偶を考えてもいいかも.
Wi∩(W1+…+Wi-1+Wi+1+…+Wk)≠{0} と仮定すると x ∈ Wi かつ x ∈ W1+…+Wi-1+Wi+1+…+Wk を満たす x≠0 が存在するんだけど, こいつが 2通りの和で書けることを示す.
No.2
- 回答日時:
残りは(1) => (2) ですか。
証明するとしたら、帰納法かな?
i) k = 2 の場合、条件(1)から v = w1 + w2 となる w1, w2 をもって、 f : V -> W1 ( v -> w1 )が定義できる。(以下省略)
ii) k の場合に成立を仮定して V, W_1,W_2,...,W_k,W_(k+1) が (1)を見たすとする、この時 V/W_(k+1),(W_1+W_(k+1))/W_(k+1),...,(W_k+W_(k+1))/W_(k+1) が (以下省略)
最後まで考えてないので違ってるかも。
No.1
- 回答日時:
試しに (2) => (3) の証明を書いてみて。
この回答への補足
失礼しました。(2)⇒(3)ではなくて(3)⇒(2)でした。
Ui=W1+…+Wi-1+Wi+1+…+Wkとする。
V=Ui+Wiより
dimUi≧dimV-dimWi=Σ(j≠i)dimWj
一方でdimUi≦Σ(j≠i)Wj
よってdimV=dimWi+dimUi
一般にdimW1+dimW2=dim(W1+W2)+dim(W1∩W2)であるから
Wi∩Ui={0}
(2)⇒(1)を考えてみました。
Vの元が二通りに
v=Σ(j=1→k)wj=Σ(j=1→k)w'j、wj,w'i∈Wj(j=1,…,k)
と書き表せる時wi-w'i=Σ(j≠i)(wj-w'j)が成り立ち、
左辺はWiの元、右辺はUiの元となり共にWi∩Uiの元、即ち0となる。
iは任意であるからVの元の書き方は一通りに定まり、
v=Σ(j=1→k)wjと書ける。
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