楕円の曲率について

楕円の曲率を計算してみたのですが、
曲率が一番大きな箇所・・・長径の端点
曲率の最も少ない箇所・・・媒介変数表示による角度で大体４５°を超えた
　　　　　　　　　　　　　あたり
の結果がでました。短径の端点が曲率最小とならなかったのが不思議です。
計算結果を検証する方法はないでしょうか。作図でも構いません。
ＵＲＬのご提示でも構いません。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2007/03/28 20:57

質問者さんの結論は正しくないようですね。

以下で検証してみてください。
●楕円の任意点での作図法
http://www.k3.dion.ne.jp/~edo-cad/daen,,,no,,,ky …

●曲率中心の軌跡を縮閉線（エボリュート）といい，縮閉線に対してもとの曲線（今の場合楕円）を伸開線（インボリュート）といいます．縮閉線の接線は伸開線の法線ですから，これら２曲線の間で測った長さは伸開線の曲率半径になります。曲率半径の逆数が曲率です。楕円の場合楕円の式は
　　(ｘ/ａ)^2＋(ｙ/ｂ)^2＝１…(1)
この縮閉線は次のようになります（参考URL）。
　　（ａｘ）^(2/3)＋（ｂｙ）^(2/3)＝（ａ^2－ｂ^2）^(2/3)…(2)
a,bに具体的な値を入れて2曲線を作図して(2)の法泉を引いて曲率半径を図れば確認できます。
楕円の曲率半径は計算で出ますよ。

2a=長径、2b=短径(a>b)、とすると、
x = acos(t), y = bsin(t), t:真円の場合の角度(rad単位)
曲率:k = ab / (a^2 sin(t)^2 + b^2 cos(t)^2)^(3/2)
曲率半径:R = 1 / k
で曲率半径:Rが計算できます。ここで、x = acos(t), y = bsin(t)
t=π/2（90度）のとき、k2=b/a^2(最小曲率)、R2=a^2/b（最大曲率半径）
t=0のとき、k1=a/b^2（最大曲率）, R1=b^2/a（最小曲率半径）
t=π/4(45度)のとき、k4=ab(2√2)(a^2+b^2)^(-3/2), R4=(a^2+b^2)^(3/2)/{ab(2√2)}

となります。a=2,b=1の場合計算してみると
R2=4 ,k2=1/4=0.25,
R1=1/2=0.5 ,k1=2,
R4=(5/8)√10=1.9764…, k4=(4/25)√10=0.5059…
となります。

参考URL：http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/243_ …

この回答へのお礼

本当にありがとうございました。

お礼日時：2007/03/29 07:41