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今高1です。宿題が明日提出で頑張ってやっているのですが、次の2問がどうしてもわかりません。ご教授ください。
問.次の事を証明せよ。
(1)連続した4つの整数の積は24の倍数である。
(2)nは整数とする。このとき、n^3+5nは6の倍数である。
(1)は、(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)で考えると、計算は楽だったのですが、そこから証明できません。
(2)は……分かりませんでした。なんとなく、n^3+5n=(n-1)n(n+1)-n^2+6nが使えるかなぁ?とか思いましたが、できそうにありません。。(?)
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
「連続した4つの整数」は、一般に
n(n+1)(n+2)(n+3)
と記述します。
で、n=4m,4m+1,4m+2,4m+3とおいて、全ての「連続した...」が、8の倍数であることを証明します。それから、n=3l,3l+1,3l+2とおいて、同様に全ての「連続した...」が、3の倍数であることを証明します。これらより、全ての「連続した...」が、8の倍数かつ3の倍数であることから、24の倍数であることがいえます。
>n^3+5n=(n-1)n(n+1)-n^2+6n
これは、n=1のとき成り立たないので、絶対、間違っています。(n-1)n(n+1)+6nです。6nは、6の倍数なので、前の項が、6の倍数であることがいえればいいでしょう。(明らかですが...)
もっとスマートな方法があるような気もします。
No.4
- 回答日時:
失礼しました、回答がまちがい12の倍数の証明になっていました。
下記でどうでしょうか?
1.連続する4つの整数は、4の倍数、3の倍数をすくなくとも1個含む。
4つの整数から、4の倍数、3の倍数をそれぞれ1個除いた、のこりの2つの整数のうち1つは偶数である。
したがって連続する4つの整数は24の倍数である。
No.2
- 回答日時:
ほかにもっといい方法があるかもしれませんが・・・
1.連続する4つの整数のうち、最小の偶数を2mとおくと、
その積は、2m(2m+1)(2m+2)(2m+3)あるいは(2m-1)2m(2m+1)(2m+2)となります。
どちらも、3の倍数をすくなくとも1個と、偶数2個{2m,2m+2}を含みます。
2.n^3+5n=n(n^2+5)=n(n^2-1+6)=(n-1)n(n+1) + 6n、
連続する3つの整数の積は6の倍数、6nも6の倍数なので、全体も6の倍数です。
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