e^xの微分はe^xですが
e^f(x)の微分はf'(x)e^f(x)でいいのでしょうか?
ネットで調べたのですが、e^xの微分の公式の説明ばかりだったので教えてください

A 回答 (2件)

あってますよ。


普通に検索すると、確かに見つけにくいですね^^
http://www-antenna.ee.titech.ac.jp/~hira/hobby/s …
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2007/08/01 23:09

>e^f(x)の微分はf'(x)e^f(x)でいいのでしょうか?


OKです。
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Q微分と変微分の違いとは

微分と変微分の違いとはなんなのでしょうか?

関数が一変数だった場合が微分、二変数の場合だったら変微分になるのですか?

けれど微分しようと変微分しようと、計算結果は同じですよね?
f(x,y)=x^2+3yのとき
df/dx=2x
ラウンドdf/ラウンドdx=2x

また全微分では微分、変微分がごちゃまぜになっていますが、どういうことなのでしょうか?よろしくお願いします。

Aベストアンサー

独立変数が2つ以上の関数の微分は、偏微分になります。
偏微分は、微分する独立変数でない独立変数は定数として扱って微分を行います。

f(x,y)=x^2+3y
では、独立変数はxとyの2つですから
xの微分は偏微分になります。
xについての偏微分は
∂f(x,y)/∂x=2x
∂f(x,y)/∂x=3
となります。

全微分は
df(x,y)=(∂f(x,y)/∂x)dx+(∂f(x,y)/∂y)dy
となります。
両辺をdxで割れば
df(x,y)/dx=(∂f(x,y)/∂x)+(∂f(x,y)/∂y)(dy/dx)
両辺をdyで割れば
df(x,y)/dy=(∂f(x,y)/∂x)dx/dy+(∂f(x,y)/∂y)
という式に成りますね。

2つの独立変数の関数を片方の変数を定数と見做して、もう1つの変数で微分するのが偏微分ですね。

お分わかりになればいいですが、如何ですか?

Qf(2x)=2f(x) の両辺を微分すると 2f'(2x)=2f'(x) となることの証明

f(2x)=2f(x) の両辺を微分するとどうなるか?
答えは 2f'(2x)=2f'(x) でした。なんとなくそうなることは
わかります。でも証明ができません。具体例を作って実験して
成功しても、成功例がひとつあることは証明にはなりませんよね?
どうやったら証明、あるいは納得できるでしょうか?

Aベストアンサー

導関数の定義式から
f(2x)の導関数
=lim[h→0]{f(2(x+h))-f(2x)}/h
=lim[h→0]{f(2x+2h)-f(2x)}/h
=lim[h→0] 2{f(2x+2h)-f(2x)}/2h
(2h=k とおくと)
=lim[k→0] 2{f(2x+k)-f(2x)}/k
=2f ' (2x)

Q絶対値 微分 問題

絶対値 微分 問題

絶対値付きの微分についての質問です。
|sinx|,|cosx|,|logx|の微分って可能でしょうか?

グラフを描いてみたのですが、
|sinx|はx=0,π(πの周期)で微分不可能と思いました。
|cosx|はx=π/2の周期で微分不可能と思いました。
で|logx|はx=1で微分不可能と思いました。

例えば、|cosx|はx=0では微分可能ですが、
|sinx|はx=0では微分不可能です。
x=0に関しては、|cosx|は微分できるけど
|sinx|は微分できないと思います?
|logx|は、x=0関数が定義されない、x=1では
微分できない。

ここで、単純に|cosx|や|sinx|を微分せよ
と出題された場合は微分できないと言う回答でOKでしょうか?
微分するとは、x=xの微分係数を求める事だと認識
しています。


絶対値が付いている関数の微分の例題と回答があれば教えて下さい。

絶対値が付いた微分の問題に当たった事がないので、気になり
質問させて頂きました。


以上、ご回答よろしくお願い致します。

絶対値 微分 問題

絶対値付きの微分についての質問です。
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グラフを描いてみたのですが、
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|cosx|はx=π/2の周期で微分不可能と思いました。
で|logx|はx=1で微分不可能と思いました。

例えば、|cosx|はx=0では微分可能ですが、
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|logx|は、x=0関数が定義...続きを読む

Aベストアンサー

こんばんわ。

「微分可能」ということの定義は大丈夫ですよね?
極限として求めた場合に、左極限(h→-0)と右極限(h→+0)の値が一致することです。

ですので、
|sin(x)|の x= nπや |cos(x)|の x= (2n+1)π/2といった点では、微分不可能となります。
ただ、それ以外の点では微分可能です。
ですから、

>ここで、単純に|cosx|や|sinx|を微分せよ
>と出題された場合は微分できないと言う回答でOKでしょうか?
というわけではなく、条件を付けたり(x≠ nπなど)や場合分けをして(絶対値の中の正負)
微分係数を求めるのが通常だと思います。

絶対値付きの関数のグラフを考えると、y< 0の部分は x軸で折り返していることになります。
ですので、この「折り目」になっている点で、たいていは微分不可能になってきます。
(折り返す前のグラフが連続であり、かつ x軸をまたいでいるような点では)

>絶対値が付いている関数の微分の例題と回答があれば教えて下さい。
高校数学の内容でありがちな問題としては、
「連続」と「微分可能性」を論じさせるようなものがありますね。
関数:y= |x|について、x= 0で連続ではあるが、微分不可能であることを示せ。

こんばんわ。

「微分可能」ということの定義は大丈夫ですよね?
極限として求めた場合に、左極限(h→-0)と右極限(h→+0)の値が一致することです。

ですので、
|sin(x)|の x= nπや |cos(x)|の x= (2n+1)π/2といった点では、微分不可能となります。
ただ、それ以外の点では微分可能です。
ですから、

>ここで、単純に|cosx|や|sinx|を微分せよ
>と出題された場合は微分できないと言う回答でOKでしょうか?
というわけではなく、条件を付けたり(x≠ nπなど)や場合分けをして(絶対値の中の正負)
微分...続きを読む

Q関数方程式、微分方程式、f '(x)=f(2x)

ふと疑問に思ったのですが、
関数方程式とか微分方程式とかいうのか分かりませんが、

f '(x)=f(2x)

って解けるのでしょうか?

初期値などは適度に決めていただいていいです。
必要であれば、係数などを適度に変えてもらってもいいです。

Aベストアンサー

#4 です。切れぎれですみません。

最後は収束性ですが、
 Am = {2^s(m-1)/m!}*A0 > ただし、s(i) は整数 1~i の和
というのでは、原点以外で発散するのが明らかです。

やっと、#3 さんの結論にたどりつきました。
残っている領域に目を転じましょう。

 f'(x) = f(x)
は指数関数ですからたとえば、
 f'(x) = f(x/2)
ですかね。
チャレンジしてみてください。

Q常微分

常微分ってどんな微分でしょうか?
またどういうときに使われるのでしょうか。

当方、経済学専攻で、偏微分とか全微分とかなら理解できる程度のレベルです。

よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

1変数関数の(単なる)微分のことを,偏微分や全微分ではないよという意味合いで特に区別して常微分というようです。
どちらかというと,微分そのものよりも微分方程式において「常微分方程式」という言い方をするようで,単独で「常微分」という言い回しはあまり聞かないような気がします。
どういうとき…というのは,偏微分・全微分をご存じなら説明は特に要らないと思いますので,このへんにしましょう。
急いでいらっしゃるようなのでとりあえず回答しましたが,詳しい方の補足・訂正を待ちます。

Q関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。

関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。ただし、pは実数とする。

という問題で、

1)pのとりうる値の範囲を求めよ。 A. p<0,2<p
2)f(α)+f(β)をpを用いて表せ。 A.f(α)+f(β)=p^3-6p^

まではできました。答えもあっているはずです。ですが、

3)2点(α,f(α)),(β,f(β))を結ぶ線分の中点の軌跡を求めよ。

という問題がどうしても解けません。
どなたかご教授下さい。お願いします。

Aベストアンサー

中点の軌跡の座標を (X , Y) とすると、
X = ( α + β ) / 2
Y = ( f(α) + f(β) ) / 2

α + β = - p
f(α) + f(β) = 問 2)より、

上 2 式から、p を消去すれば、軌跡の方程式が求まります。
また、問 1) の p の範囲から、x の範囲も考慮する必要があります。

Qsin2xの微分

sin2xの微分

(1) x^5を微分すると4x^4
(2) (x^2+1)^3を微分すると6x(x^2+1)^2となるのはわかるんです。

(2)の場合先生曰く、中の微分をするのでx^2+1を微分して掛けるらしいのです。
しかしsin2xの場合なんで中の微分とやらをしなくてはいけないのかがわかりません。
(2)の場合はカッコの中にxがあるので中の微分をするのですよね?

Aベストアンサー

 こんにちは。

 ルールではなく、もとの取り決めに従って理解すると、わかります。

 ちなみに(1)y = x5 を微分すると 5倍のx4 です。

 このようなxの何乗の微分は理解されているものとします。


 (2)もsin2x も同じことなのですが、このままではややこしいので

  置き換えているのです。

 (2)は(2x+1)をzと置き換えると、z3(Zの3乗)の形になりますね。

 sin2x も、知っているのは sinX の微分をすると cosX ということですね。

  そこで 2x を Z とおくと 知っている sinZ という形になります。

 数学は、難しい問題は、知っているほうに、やさしいほうにと考えるのが、解き方です。


 で、それからどうなるかですが、ここからが微分というものの大元を理解している必要があるのですね。



 微分は、変化を計算する学問です。で、

 y’(y-ダッシュ)つまり微分というのは、yの変化に対するxの変化を考えるのですが、

 ややこしい説明は、本で理解することにして、次を理解してください。


 yをxで微分することとは yの変化/xの変化 (yの変化 割る xの変化)

 つまりは変化の割合を考えることです。


 で、xの式をzで置き換えた微分は、(2)Z3でも sinZ でも簡単に見つかりますね。

 つまり (2)は、3かけるZの2乗であり、sinZ は COSZ です。

 ところが、これだと

  yの変化/zの変化です。求めるのは、yの変化/xの変化 ですから

yの変化/zの変化 に zの変化/xの変化 をかける必要があります。なぜなら


  yの変化/xの変化 = yの変化/zの変化 かける zの変化/xの変化


 でしょう。

  で、zの変化/xの変化 ってなんでしょう。

 そうZをXで微分することです。

  そこで (2)では z=2x+1 とおいていますから、これの微分をすると 2

  sin2X では Z=2X とおいていますから これを微分したもの 2

  をそれぞれ

 Z3を微分した、3かけるZの2乗、に2をかける

 sinZ を微分したは COSZ に 2をかける

 となるのです。

 この例では両方偶然に2になっていますが、かけるのは、もちろんそれぞれの問題で、

 Z に置き換えた式の微分

 ですよ。

 そして答えるときには、置き換えたZを元のXの式に戻します。

 だから、

 (2)の答えは、3かけるZの2乗、に2をかける

     で 3(2x+1)の2乗かける2 で 6(2x+1)^2

 sin2x は cosZ かける2、この2はcosineの中身のZにはかけられませんから

 前に出して 2cos2x となります。

 変化の式のところの説明は、わかりいいように、数学的には、荒っぽい説明をしていますが、

 本質的な間違いはありませんので、このまま覚えても大丈夫ですよ。



 ルールは必ず裏に説明があります。

 ルールだけ知っていて、問題が解けても、本当にわかったことにはなりません。

 たとえば、マイナスの数は、なぜ二回かけるとプラスになるのか。

 分数の割り算は、なぜひっくり返してかけるのか。

 これらの計算ができても、子供に説明できる人は少ないのです。


 まずは、できることを目標にし、つぎになぜそうなのかを、元に戻って理解すると、

 「ふーん、そうなんだ。」となって、一生忘れません。

 がんばって勉強してくださいね。

 こんにちは。

 ルールではなく、もとの取り決めに従って理解すると、わかります。

 ちなみに(1)y = x5 を微分すると 5倍のx4 です。

 このようなxの何乗の微分は理解されているものとします。


 (2)もsin2x も同じことなのですが、このままではややこしいので

  置き換えているのです。

 (2)は(2x+1)をzと置き換えると、z3(Zの3乗)の形になりますね。

 sin2x も、知っているのは sinX の微分をすると cosX ということですね。

  そこで 2x を Z とおくと 知っ...続きを読む

Qf(x)=x^x+e^e の微分

正答と自分のだした答えが合いません。 答えに導き出す方法を教えてください。

自分でやったところ↓
f(x)=x^x+e^e
log f(x)=log x^x+log e^e
=xlogx+eloge
f '(x)/f(x)=logx+x/x+0
f '(x)=(logx+1)(x^x+e^e)

と自分で出したのですが、正答は↓
f '(x)=(logx+1)(x^x)
と出ています。

自分の答えからどのような過程で正答にたどり着けますか?

Aベストアンサー

>自分の答えからどのような過程で正答にたどり着けますか?

>自分でやったところ↓
>f(x)=x^x+e^e ...(★)
>log f(x)=log x^x+log e^e ...(◆) ←この式が間違い
正しくは
log f(x)=log(x^x+e^e) ,,,(●)
≠log x^x+log e^e ...(◆)
>=xlogx+eloge ← この式は間違いの(◆) の式に等しいけど、正しい(●)の式とは別物。
なので以下の式も間違い。
>f '(x)/f(x)=logx+x/x+0
>f '(x)=(logx+1)(x^x+e^e)

(●)のように対数をとらないで(★)の式を
直接微分した方が良いでしょう。
f(x)=x^x+e^e
  =e^(xlog(x))+e^e
f'(x)={e^(xlog(x))}(xlog(x))'={e^(xlog(x))}(log(x)+x/x)
=(x^x)(log(x)+1)

■公式:a^b=e^(blog(a))
を覚えて置くこと(今の場合a=b=xのケースです)

Q偏微分について

√x^2+y^2(ルートはここまで係ります)をxについて2回微分したものと、xについて微分した後、yについて微分したものと、yについて2回微分したものを求めてください。お願いします。ルートがあるので、どう微分すればいいのか分からないのです。

Aベストアンサー

では (x^2+1)^(1/2) を x で微分するとどうなる?

Q微積 f (x)+f '(x)→0 (x→∞)

f:(0,∞)→実数として、f (x)+f '(x)→0 (x→∞)だとする。…(1)
そのときf (x)→0 (x→∞)であることを説明しなさいという問題ですが、

f '(x)→0 (x→0)が必要十分と考え
f (x)≠0 (x→0) だとして(f(x)=0 (x→0) だったらそれで終了)
f '(x)/f (x)→-1 …(2)
となる。

x→∞でf '(x)→0じゃない場合、
f '(x)→0以外の実数定数 もしくは±∞となるはずだが、
f '(x)がx→∞で実数定数になる場合、f(x)が発散してしまうため条件(1)を満たせない
f '(x)がx→∞で±∞になる場合、f(x)が逆の符号で発散しないと条件(2)を満たさないが、f '(x)→+∞のときf (x)→-∞、f '(x)→-∞のときf (x)→+∞にはなりえない。
よってx→∞のときf '(x)→0 になる。
という感じで大まかな考え方はあってますか?

Aベストアンサー

必要とされる知識はそんなに多くないですが、それらを上手く使えるように問題を変えたりある程度本質を見抜く力が重要になってきます。wikiには「extensive creative thinking is necessary」と書いてありますが時間制限を抜きにすればそれに同意します。間違いなく言えることはほとんどすべての数学者がPutnamは難しいと認識していることです。
問題の質は数学オリンピックとはまた異なる印象を受けますね。私も正直そんなに多くの問題を見たことは無いのでよく分かりませんが。。
ちなみに私の知っている大学教授(今現在数学のとある分野の第一線で活躍しています)がアメリカ留学中の学部生時代に一度受けたことあるみたいですが一問も解けなかったと言ってました^^
なので解けても解けなくても心配はいりません笑 まあでも当然解けるに越したことないですけど。


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