数学の確率　（さいころ）

Question

ある確率の問題で
「n個のさいころを同時に投げるとき目の和がn+3になる確率を求めよ」

というものがあるのですが、その答えの式が
６のn乗　分の　n H 3(重複組み合わせ　　 Hのn、3）
と書いてありました。
これは分母が、さいころをn個投げる事象の総数の重複順列で、分子はn個から選ぶ　重複組み合わせ　となっています。

でも、分母を順列で計算するので分子も順列で考えなくてはならないのではありませんか？？どうか分かる方は教えてください。よろしくお願いします。

aquarius_hiro · Accepted Answer

skrulerさん、こんにちは。

さすがにサイコロは区別できるとおもうのですが。。(^^;) 

分母はすべての場合の数なので、6^nでよろしいですね。（^nは右肩にnの意味。）一つのサイコロについて6通りあるので、6^n通りになります。（実は、サイコロが区別できないとすると、これも6^nにならないです。）

分子は、例えば次のように考えます。

サイコロの目の数は最小で1なので、n+3になるにはすべて1になった状況から+3の分だけ、n個のうちのどれかを増加させればよいですね。つまり+3をn個のサイコロのどれかに分配します。それにはn個から重複を許して3つ選べばよいので、nH3になります。

重複してよいのは、一つのサイコロに+3のうちの+2または+3が集中してもよいからです。運の良いサイコロは2回、3回選ばれるわけですね。

重複して良いので、nC3にはならず、nH3になります。
（もしサイコロの目が3以上になれないとしたら、重複しないように選ばないといけないので、nC3になります。）

区別できないできるの話で言えば、区別できないのは、+1を分配するのを「抽選」と呼ぶとすると、何回目の抽選で当選したかが区別できません。1回目で当選しようが、2回目で当選しようが、+1は+1です。


> 分子も順列で考えなくてはならないのではありませんか？

とのご質問ですが、どのようなものを想定して「順列」と言っているのかがわからないので、説明しにくいのですが、例えば、n個から3つ重複を許して選ぶからといって、n^3通りにならないのは、
「1回目の抽選Aが当選、2回目の抽選Bが当選」
「1回目の抽選Bが当選、2回目の抽選Aが当選」
のような二つはどちらもサイコロAの目が2、サイコロBの目が2を意味するので、この二つを区別できないからです。


ついでにnH3の式も示してみますね。

まず、最小の"1"はすべてのサイコロに保証されているので、残りの+3を分配するために、まず○を3つ書きます。○1つが+1に相当します。
○○○

これに、(n-1)個の仕切り"|"を挿入し、できたn個の入れ物の中の○の数だけ、その場所に対応するサイコロの目に加えるとします。
例えば、n=10とすると、n-1=9なので、
||○||||○○|||
となり、できたn個（いま10個）の入れ物の中の○を数えると、
0,0,1,0,0,0,2,0,0,0 …(1)
これに10個のサイコロが対応しているとして、（端から1番、2番、…10番と区別して考える。）その目に(1)の数を加えると、サイコロの目は、
1,1,2,1,1,1,3,1,1,1
になります。
この場合の数をカウントするには、○か"|"が入る、3+(n-1)個のスペース□を用意して、その□のうちから○が入るものを今度は重複を許さず選べばよいので、場合の数は、
[3+(n-1)]!/[3!・(n-1)!] = nH3
となります。

age_momo · Answer

組み合わせという言葉に引っかかりを感じておられるのかもしれませんが、
その前になぜ、『n個のさいころを同時に投げるとき目の和がn+3になる』が
重複組み合わせで求まるのか考えて見ましょう。

まともに数えるなら基本は
和がn+3になるためにはそれぞれのさいころが
(1)1個が4で後の(n-1)個は1　　　n通り
(2)1個が3で1個が2、後の(n-2)個は1　　n(n-1)通り
(3)3個が2で後の(n-3)個は1　　　n(n-1)(n-2)/6通り
合計して因数分解するとn(n+1)(n+2)/6通りとなります。

ここで少し考え方を変えてみます。
n個のサイコロに番号をふります。D1-Dnとしておきます。
今、とりあえず全員に1を割り当てます。(サイコロの最小値ですので)
その上で残りの3をD1-Dnに重複を許して分けます。
例えばD2,D2,D5とするとD2が3、D5が2というわけです。
D3,D6,D6ならD3が2、D6が3です。D4,D4,D4ならD4が4で後は1です。
この場合の数は重複組み合わせ3Hnで計算できることが分かります。
よって題意を満たす順列の数が重複組み合わせで計算することができます。

重複『組み合わせ』という名前ですが、サイコロに番号を振って1を振り分ければ
これは順列なのです。

ところで、この方法が簡単にできるのは和がn+『3』だからであって7とかだと
また少し工夫が必要になります。
D2に1を6個振り分けて合計で7を出すことは不可能ですから。。。

abyss-sym · Answer

サイコロ１つ１つが区別できないからだと思います。
もし、サイコロの大きさに違いがあったりして区別できるならば、順列にしなければなりません。

数学の確率 （さいころ）

skrulerさん、こんにちは。

組み合わせという言葉に引っかかりを感じておられるのかもしれませんが、

サイコロ１つ１つが区別できないからだと思います。

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