(log 1)^s + (log 2)^s + … + (log n)^s + …の収束・発散

1/1^s + 1/2^s + … + 1/n^s + …
においては、
s>1のとき収束
s≦1のとき発散

だと思いますが、
(log 1)^s + (log 2)^s + … + (log n)^s + …
においては、どうなるのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： ringohatimitu 回答日時： 2007/10/21 15:35

負のsに対しての問題の級数ですが（n>1としておきます)結論から言えばすべてのsに対して発散します。

a>0を小さい数として固定しｎが十分大きいときlog(n) << n^a が成り立つのでa<1/sとすれば級数はΣn^{-1}よりも大きく発散してしまいます。

No.4 回答者： zk43 回答日時： 2007/10/21 15:57

(logn)^s/nの極限を考えると、これは0に収束します。

感覚的には分子のべき関数に対して、分母が指数関数になっているから
ですが、見やすくするためにlogn=mとおくと、n=e^mで、
(logn)^s/n＝m^s/e^mとなります。
このm→∞の極限は、mを実変数と考えてロピタルの定理を使ったり、
e^mのテイラー展開から評価したりして、0に収束することが分かります。
よって、(logn)^s/n→0です。
従って、nが十分大きければ、(logn)^s＜n、すなわち、
1/(logn)^s＞1/nとなり、sが何でもΣ1/(logn)^sは発散します。
感覚的には、lognを何乗しても、nに比べて増加するペースが遅すぎる
ということでしょうか。

No.2 回答者： Aronse 回答日時： 2007/10/21 15:27

log 1=0なので

1/(log 1)^sというのが定義できません。

No.1 回答者： Aronse 回答日時： 2007/10/21 14:41

logの真数部分は1以上なのですべてのlog nは0以上になります。

さらに、nの値が大きくなるにつれてlog nも大きくなりますので
(lim n→∞ log n=∞)
s≧0において発散します。

sが負の場合、複素数の場合について考えておられるのでしょうか？

ζ(s)=1/1^s + 1/2^s + … + 1/n^s + …の和はζ関数と呼ばれて
かなり大きな研究対象になっているようです
（私はかじったくらいで専門ではないです）
ζ(s)=0が成り立つような（複素数も含めた）sの値に関する予想は
現在未解決（150年弱？未解決のまま）でリーマン予想と呼ばれています。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC% …

この回答へのお礼

ありがとうございます。ややこしくてすみません。

1/(log 1)^s + 1/(log 2)^s + … + 1/(log n)^s + …

の収束・発散を考えていただいてもいいです。

s=0のとき、発散しています。

nが十分大きいとき、
log n < n
s>0として、(log n)^s < n^s
1/n^s < 1/(log n)^s
よって、s=1のとき、ζ(s)=1/1^s + 1/2^s + … + 1/n^s + …は発散するので、
1/(log 1)^s + 1/(log 2)^s + … + 1/(log n)^s + …
も発散します。

sが大きいとき、
1/(log 1)^s + 1/(log 2)^s + … + 1/(log n)^s + …
は収束しそうな気がしますが、どれくらい大きいと収束するのでしょうか？

お礼日時：2007/10/21 14:54