調和級数よりゆっくり発散する級数ってあるの?

調和級数よりゆっくり発散する級数ってあるのでしょうか？
あるとして、どんな形をしているのでしょうか？

ちまみに、以下の条件を満たすことと仮定してみます。

Σa[n]が発散するとして
k < n ならば、必ずa[k] > a[n]
これがないと、例えばa[n]を展開しなおして当てはめ直せば、いくらでも発散をゆっくりに出来てしまう「自明の」「緩発散」級数が出来てしまうので。

No.1 ベストアンサー 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/11/20 03:07

S[n] = Σa[n]

とすれば、調和級数とは S[n] ～ log(n) ということですね。

単純に考えて S[n] ～ log(log(n)) ならもっとゆっくり発散するでしょう。

log(log(x)) を微分すると 1/(xlogx) だから

Σ1/(nlog(n)) などが単純に思い付く例になりましょうか。

No.2 回答者： zk43 回答日時： 2007/11/20 19:07

素数の逆数和は発散します。

1+1/2+1/3+…+1/nはlogn程度ですが、n以下の素数の逆数和
1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+…+1/pはlog(logn)程度です。
ものすごくゆっくり発散します。
実際やってみるとわかりますが、2を超えるところまでは何とか行きま
すが、3はなかなか超えません。4を超えるには20桁くらいの素数まで
行かないとなりません。
現在知られている最大の素数まで行っても、18くらいにしかならないそ
うです。