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[1]

外心と垂心が一致する三角形ABCは正三角形であることを証明せよ。

自分でやってみたんですが、証明をする上で、どこが間違ってるのか(全部間違えてそうだけど・・)
どうやって証明していけばいいのか、外心と垂心の問題を解く上でのコツとかを教えて欲しいです。
以下、私の答えです。

△ABCの外心をOとすると
点Oから各辺への垂直二等分線をそれぞれL,M,Nとする。
AL=BL,BM=MC,CN=NA,OL=OM=ON
OL⊥ABで点N,Mは辺BC,CAの中点なのでMN//ABより
OL⊥MN
OM⊥BCで点N,Mは辺AB,CAの中点なのでLN//BCより
OM⊥LN
ON⊥ACで点N,Mは辺AB,BCの中点なのでON//ACより
ON⊥LM
以上より点Oは△ABCの垂心でもある。
よって△ABCは正三角形である。

教科書の答えが全然違ったんですが、どうしてこれではだめなんでしょうか?


[2]

鋭角三角形ABCの垂心をH、外心をOとし、Oから辺BCにおろした垂線をOMとする。
また、△ABCの外接円の周上に点Kをとり、線分CKが円の直径になるようにする。
このとき、次のことを証明せよ。

(1)BK=2OM

(2)四角形AKBHは平行四辺形である。

(3)AH=2OM

どれも難しくて分かりません。。
易しく教えてください。
おねがいします。

A 回答 (2件)

[1]は、点Oから各辺への垂直二等分線をそれぞれL,M,Nとする。


といったとき、△ABCが正三角形のときしかこのような線は引け
ませんよね。
正三角形を仮定して垂心と外心が一致するというのではなくて
垂心と外心が一致すると仮定してそれが正三角形になるといいたい
わけですよね。

[2]
(1)△COM∽△CKB(2組の角)なので、
  CO:CK=OM:KB=1:2です。
(2)直線AHはBCに垂直、KBもBCに垂直なのでKB//AH
 (同位角が等しい)
 直線BHはACに垂直、∠KACは直径の弧に対する円周角
 なので90°だから、BH//KA(同位角が等しい)
 よって、2組の対辺がそれぞれ平行といえます。
(3)(2)から、KB=AHだし、(1)からKB=2OMなので、
 AH=2OMです。
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「垂心と外心が一致する三角形は正三角形である」ことの証明の方針



△ABCにおいて、A(-a,0),B(b,0),C(0,c) とおく。
(ただし、a>0,b>0,c>0 とする。)
「Cを通りABに垂直な直線」と「Aを通りBCに垂直な直線」の交点が垂心Pとなる。
外心と一致するので、AP=BP=CP が成り立つ。
これにより、b,c を a で表すと
AB=BC=CAを示すことができる。 
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Aベストアンサー

>二等辺三角形ABCの重心、内心、外心をそれぞれG,I,OとしてABと ACが9、BCが6のAOの長さはどうやったら求められるんでしょうか。

 外心の半径をxとします。
 また、辺BCの中点をMとします。

 すると BM=3 ですから、△OCMにおいて三平方の定理から OM=√(9-x^2) と表せます。
 また、△ABMにおいて三平方の定理から AM=6√2 と表せます。

 AO+OM=AM ですから
  x+√(9-x^2)=6√2  ・・・・★

 両辺を2乗して 2x{x+√(x^2-9)}=81 を得ます。
 この式に式★を代入すると
  2x 6√2=81
 ∴x=27√2/8 =AO


 ちなみに、∠B=θ とおいて 正弦定理でも求められますよ。
  2R=6/sin(π-2θ)=9/sinθ ∴cosθ=1/3, sinθ=2√2/3 ∴R=27√2/8


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