
0<t<1とする。⊿P1Q1R1において、辺Q1R1をt:(1-t)に内分する点をP2、辺R1P1をt:(1-t)に内分する点をQ2,辺P1Q1をt:(1-t)に内分する点をR2とし、⊿P2Q2R2を作る。この操作を繰り返して、自然数nに対して、⊿PnQnRnにおいて、辺QnRnをt:(1-t)に内分する点をPn+1、辺RnPnをt:(1-t)に内分する点をQn+1,辺PnQnをt:(1-t)に内分する点をRn+1とし、⊿Pn+1Qn+1Rn+1を作る。⊿PnQnRnの面積をanとするとき、次の問いに答えよ。
(1)⊿PnQn+1Rn+1の面積をanとtを用いて表せ。また、an+1をanとtを用いて表せ。
(2)S=Σ(∞・n=1)anとおくとき、Sをa1とtを用いて表せ。
(3)a1=1とする。Sを最小とするtの値とそのときのSの値を求めよ。
答えは
(1)⊿PnRn+1Qn+1=t(1-t)an, an+1=(3t^2-3t+1)an
(2)S=a1/(-3t^2+3t)
(3)t=1/2 S=4/3
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(1)⊿PnQn+1Rn+1の面積をanとtを用いて表せ。
また、an+1をanとtを用いて表せ。⊿PnQnRnの辺の長さをPnQn=rn, QnRn=pn, RnPn=qn、頂角を∠Pn=α,∠Qn=β,∠Rn=γとおく。
an=qnrnsinα/2=rnpnsinβ/2=pnqnsinγ/2
⊿PnQn+1Rn+1=trn(1-t)qnsinα/2=t(1-t)qnrnsinα/2=t(1-t)an
⊿QnRn+1Pn+1=tpn(1-t)rnsinβ/2=t(1-t)pnrnsinβ/2=t(1-t)an
⊿RnPn+1Qn+1=tqn(1-t)pnsinγ/2=t(1-t)pnqnsinγ/2=t(1-t)an
an+1=⊿Pn+1Qn+1Rn+1=⊿PnQnRn-(⊿PnQn+1Rn+1+⊿QnRn+1Pn+1+⊿RnPn+1Qn+1
=an-3t(1-t)an=(3t^2-3t+1)an
(2)S=Σ(n=1~∞)anとおくとき、Sをa1とtを用いて表せ。
anは公比(3t^2-3t+1)の等比数列
Sn=Σ(n=1~n)an=a1[1-(3t^2-3t+1)^n]/[1-(3t^2-3t+1)]
公比は明らかに1より小さい(面積が小さくなっていくから)
よって
S=Σ(n=1~∞)an=lim(n→∞)Sn=a1/(3t-3t^2)
(3)a1=1とする。Sを最小とするtの値とそのときのSの値を求めよ。
S=1/(3t-3t^2)=(1/3)[1/(t-t^2)]=(1/3)[1/{1/4-(t-1/2)^2}] (平方完成)
t=1/2のときSは最少となり、最小値S=4/3をとる。
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